[Toán ôn thi vào chuyên THPT] Bất đẳng thức và hệ thức vi-ét

[san1201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Làm giúp mình hai câu này nha, xin cảm ơn. :khi (15):

Câu 1: Cho các số $a,b,c,d$ thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\sqrt[3]{abcd}+\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}$$

Câu 2: Gọi $x_1 ,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-18x+1=0$.Đặt $S_n=x_1^{n}+x_2^{n}$.trong đó n là số tự nhiên.
a, Chứng minh rằng :$S_{n+2}=18.S_{n+1}-S_n$
b, Chứng minh rằng $S_n$ là số nguyên dương và không chia hết cho $17$ với mọi n thuộc N .

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:

Ta có $0 \leq a;b;c;d \leq 1 \rightarrow 0\leq abcd;(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \leq 1$

$\leftrightarrow 0 \leq abcd \leq 1$

$\leftrightarrow 0 \leq (abcd)^4 \leq (abcd)^3$

$\leftrightarrow 0 \leq \sqrt[3]{abcd} \leq \sqrt[4]{abcd}$(khai căn bậc 12 ở 2 vế)

Tương tự $0 \leq \sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)} \leq \sqrt[4]{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}$

$\rightarrow A \leq \sqrt[4]{abcd}+\sqrt[4]{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy $\sqrt[4]{abcd} \leq \dfrac{a+b+c+d}{4} \\ \sqrt[4]{(1-
a)(1-b)(1-c)(1-d)} \leq \dfrac{1-a+1-b+1-c+1-d}{4}$

$\rightarrow A \leq \dfrac{a+b+c+d+4-a-b-c-d}{4}=1$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow (a;b;c;d)=(0;0;0;0);(1;1;1;1)$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2:

$a) \leftrightarrow x_1^{n+2}+x_2^{n+2}=18x_1^{n+1}+18x_2^{n+1}-x_1^n-
x_2^n$

$\leftrightarrow x_1^{n+2}+x_2^{n+2}=(x_1+x_2)(x_1^{n+1}+x_2^{n+1})-
x_1x_2(x_1^n+x_2^n)$(Viét)

Khai triển ra thấy đúng

$b)$ Là số nguyên dương chứng minh áp dụng câu a

Nhận thấy S_1;S_2;S_3 không chia hết cho 17

Giả sử điều phải chứng minh đúng đến $n=k(k \geq 3)$

Ta chứng minh $S_{k+1}$ không chia hết cho 17

Nếu $S_{k+1} \vdots 17$

$\rightarrow S_{k+1}=17S_k+S_k-S_{k-1} \vdots 17$

$\rightarrow S_k-S_{k-1} \vdots 17$

$\rightarrow S_{k-2}=17S_{k-1}+S_{k-1}-S_{k} \vdots 17$

$\rightarrow S_{k-2} \vdots 17$

Vì điều phải chứng minh đúng đên k nên $S_{k-2} $ không chia hết cho 17

$\rightarrow$ mâu thuẫn $\rightarrow S_{k+1} $ không chia hết cho 17

Theo nguyên lí quy nạp ta có dpcm

 

[eye_smile]

b,Tớ nghĩ là chỉ cần như thế này:
$S_{n+2}$ đồng dư với $S_{n+1}-S_n$ (mod 17)
\Rightarrow $S_n$ đồng dư với $S_2-S_1$ đồng dư với $S_1-S_0$ đồng dư với 16 (mod 17)

\Rightarrow đpcm