View attachment 101167
Làm giúp mk bài 3 thôi ạ
bài 3: theo a, đặt: [tex]\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}=\frac{a}{b} (a;b\epsilon \mathbb{N})\\\\ <=> xb-by\sqrt{2013}=ay-az\sqrt{2013}\\\\ <=> xb-by\sqrt{2013}-ay+az\sqrt{2013}=0\\\\ <=> (xb-ay)+\sqrt{2013}.(az-by)=0[/tex]
dễ thấy a;b;x;y;z đều là các số nguyên dương mà căn 2013 là số vô tỉ, ko có số vô tỉ nào cộng trừ nhân chia với số vô tỉ ra 0 được
=> xb-ay=0 và az-by=0
[tex]=> \left\{\begin{matrix} xb &-ay &=0 \\ by&-az &=0 \end{matrix}\right.\\\\ <=>\left\{\begin{matrix} xb &=ay \\ by &=az \end{matrix}\right.\\\\ => \frac{b}{a}=\frac{y}{x}\\\\ \frac{b}{a}=\frac{z}{y}\\\\ => \frac{y}{x}=\frac{z}{y}=> xz=y^2[/tex]
theo b có: x^2+y^2+z^2 là 1 số nguyên tố
với x^2+y^2+z^2>3
có: x^2 đồng dư 0;1 (mod 3)
y^2 đồng dư 0;1 (mod 3)
z^2 đồng dư 0;1 (mod 3)
với x^2;y^2;z^2 đồng dư 0;1 (mod 3)
=> x^2+y^2+z^2 chia hết cho 3 (vô lí)
=> có ít nhất 1 số chia hết cho 3 và 1 số ko chia hết cho 3
giả sử x và z chia hết cho 3 và y ko chia hết cho 3
mà xz=y^2 => vô lí
giả sử x và y chia hết cho 3 và z ko chia hết cho 3
mà y/x=z/y
với y>x => z>y
vế trái chia hết cho 3; vế phải ko chia hết cho 3 => vô lí
với y<x => z<y
đảo tỉ số lại => vô lí
chứng minh tương tự với z và y chia hết cho 3 và y ko chia hết cho 3 => vô lí
vậy x^2+y^2+z^2=3
=> x^2+zx+z^2=3 => (x-z)^2+3zx=3
=> (x-z)^2=3.(1-xz)
có: vế trái luôn >=0 mọi x;z
=> 1-xz >=0 => xz <=1
mà x;z nguyên dương => x=z=1
=> x=y=z=1 (thỏa mãn)
vậy.....
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
