Bài giải
Chứng minh:
Kéo dài phân giác AI, cắt (O) tại D. Từ I, hạ vuông góc với AB tại H.
{Trước tiên ta chứng minh IA.ID=2Rr}
Từ D, vẽ đường kính DF của (O).
Ta có: [TEX]\widehat{DAC} = \widehat{DFC}[/TEX] (cùng chắn cung DC)
Mà [TEX]\widehat{DAC} = \widehat{BAI}[/TEX] (do AI là phân giác)
\Rightarrow [TEX]\widehat{DFC} = \widehat{BAI}[/TEX]
[TEX] \hat{FCD} =90^o [/TEX] (do góc chắn đường kính DF)
Xét [TEX]\large\Delta AIH \sim \large\Delta FDC [/TEX] (góc-góc)
\Rightarrow [TEX]\frac{IA}{FD} = \frac{IH}{CD}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{IA}{2R} = \frac{r}{CD}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]IA.CD=2Rr[/TEX] (1)
[TEX]\widehat{ICD} = \widehat{ICB} + \widehat{BCD}[/TEX]
[TEX]\widehat{ICD} = \widehat{ICA} + \widehat{BAD}[/TEX] (vì CI là phân giác; [TEX]\widehat{BCD} và \widehat{BAD} cùng chắn cung BD)
[TEX]\widehat{ICD} = \widehat{ICA} + \widehat{CAD}[/TEX] (vì AI là phân giác)
[TEX]\widehat{ICD} = \widehat{CID}[/TEX] (t/c góc ngoài tam giác AIC)
\Rightarrow [TEX]\large\Delta CID[/TEX] cân tại D
\Rightarrow [TEX]DC=DI[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) ta có: [TEX]IA.ID=2Rr[/TEX]
{Tiếp theo ta chứng minh bổ sau: Cho dây AB, M thuộc AB. CMR: [TEX]MA.MB=R^2- OM^2[/TEX]}
Dễ dàng chứng minh bằng cách kéo dài OM, cắt (O) tại C và D
[TEX]\large\Delta MAC[/TEX] đồng dạng [TEX]\large\Delta MDB[/TEX] (góc-góc)
\Rightarrow [TEX]MA.MB=MC.MD=(R-OM)(R+OM)=R^2- OM^2[/TEX]
Áp dụng bổ đề, ta có: [TEX]R^2- OI^2=IA.ID=2Rr[/TEX]
\Rightarrow [TEX]OI^2=R^2-2Rr[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]d^2=R^2-2Rr[/TEX]
(đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn