Toán nâng cao 7!<img src="http://diendan.hocmai.vn/images/eyeeasy/buttons/DaXN.png" border="0">

[teeiulem9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng: \frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}-...+\frac{1}{2^{4n-2}} - \frac{1}{2^{4n}} +...+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}} < 0,2.

2.Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:

D= \frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y} \frac{3}{4}.

 

[thienluan14211]

$D= \frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y} \frac{3}{4}.$

Hình như đề thiếu thì phải. Phải \leq $\frac{3}{4}$ chứ

Ta áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{m}{A+B}$\leq$\dfrac{1}{4}(\dfrac{m}{A}+ \dfrac{m}{B})$ Với A, B là các biểu thức

Ta có $\frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{(x+y)+(x+z)}$\leq $ \dfrac{1}{4} (\dfrac{x}{x+y}+ \dfrac{x}{x+z})$
Tương tự $\frac{y}{2y+z+x}$ \leq $\dfrac{1}{4}(\dfrac{y}{y+x}+ \dfrac{y}{y+z})$
$\frac{z}{2z+x+y}$\leq $\dfrac{1}{4}(\dfrac{z}{z+x}+ \dfrac{z}{z+y})$
Cộng 3 bất đẳng thức theo vế
\Rightarrow $\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}$ \leq $ \dfrac{1}{4} (\dfrac{x}{x+y}+ \dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+x}+ \dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}+ \dfrac{z}{z+y})$
\Leftrightarrow$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}$ \leq $ \dfrac{1}{4} (\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}+ \dfrac{x}{x+z} +\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{y+z})$
\Leftrightarrow$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}$\leq $ \dfrac{1}{4} (1+1+1) $
\Leftrightarrow$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}$\leq $ \dfrac{3}{4}$