Toán 9 toán khó

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tồn tại hay không 3 số thực a,b,c thỏa mãn [tex]\frac{a}{b^{2}-ac}=\frac{b}{c^{2}-ab}=\frac{c}{a^{2}-bc}=\frac{1}{2019}[/tex]
2)Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn [tex]ab+bc+ca=1[/tex]. CMR
[tex]a\sqrt{b^{2}+1}+b\sqrt{c^{2}+1}+c\sqrt{a^{2}+1}\geq 2[/tex]

 

[iceghost]

Lời giải của @Hoàng Vũ Nghị

1) Rõ ràng a, b, c khác 0
gt $\iff \dfrac{a^2}{ab^2-a^2c} = \dfrac{b^2}{bc^2-ab^2} = \dfrac{c^2}{a^2c-bc^2} = \dfrac{1}{2019}$
Suy ra $ab^2 - a^2c > 0$ và $bc^2 - ab^2 > 0$ và $a^2c - bc^2 > 0$
Cộng vế theo vế suy ra $0 > 0$ (vô lý)
Vậy không tồn tại các số thực a, b, c thỏa đề

 

[Hoàng Vũ Nghị]

2/
bđt tương đương
[tex]\sum a\sqrt{\frac{4}{3}(b^2+1)}\geq \frac{4}{\sqrt{3}}[/tex]
Ta có
[tex]\sum a\sqrt{\frac{4}{3}(b^2+1)}=\sum a\sqrt{(\frac{1}{3}+1)(b^2+1)}\\\geq \sum a(\frac{b}{\sqrt{3}}+1)=\frac{1}{\sqrt{3}}+\sum a\\\geq \frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3(ab+bc+ca)}\\=\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}=\frac{4}{\sqrt{3}}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]