toan kho

[ankhanh192]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chung minh rang
$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{(2n)^ 2}< \dfrac{1}{2}$

 

[pandahieu]

Đề bài Chứng minh $\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{(2n)^2}< \dfrac{1}{2}$

Lời giải :

$\bigstar$Ta có BĐT sau $\dfrac{1}{(n)^2}< \dfrac{1}{(n-1)n}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$

Ta có $A=\dfrac{1}{2^2}(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2})$

Như vậy ta cần chứng minh $1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<2$

$\star$ áp dụng BĐT phụ trên ta có : $\dfrac{1}{2^2}<1-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3^2}<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$

\Rightarrow $1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+.....+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=2-\dfrac{1}{n}<2$

Ta có Q.E.D