Toán 9 Toán hsg

[Hồ Khánh Nam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [tex](x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1[/tex]. Tính x+y

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Ta có:
[tex](x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)=x^2+1-x^2=1\\ \Rightarrow (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{y^2+1}+y\\ \Rightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}[/tex] (1)
Chứng minh tương tự với [tex]\sqrt{y^2+1}+y[/tex] ta cũng có:
[tex]x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}[/tex] (2)
Cộng (1) với (2) ta có: [tex]2(x+y)=0\Leftrightarrow x+y=0[/tex]

 

[baogiang0304]

cho [tex](x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1[/tex]. Tính x+y

Ta có: [tex]x+\sqrt{x^{2}+1}=t[/tex] => [tex]y+\sqrt{y^{2}+1}=\frac{1}{t}[/tex]
=> [tex](x-t)^{2}=x^{2}+1[/tex] và [tex](y-\frac{1}{t})^{2}=y^{2}+1[/tex]
=> [tex]x^{2}-2xt+t^{2}=x^{2}+1[/tex] và [tex]y^{2}-\frac{2y}{t}+\frac{1}{t^{2}}=y^{2}+1[/tex]
=> [tex]2xt=t^{2}-1[/tex] và [tex]-\frac{2y}{t}=1-\frac{1}{t^{2}}=\frac{t^{2}-1}{t^{2}}[/tex]
=> [tex]x=\frac{t^{2}-1}{2t}[/tex] và [tex]y=\frac{t^{2}-1}{-2t}[/tex]
=>[tex]x+y=\frac{t^{2}-1}{2t}+\frac{t^{2}-1}{-2t}=0[/tex] (đpcm)