Toán học sinh giỏi

[ledinhlocpt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Giải phương trình
a) ( 1 + $ \dfrac{1}{1.3} $ )( 1 + 1 $ \dfrac{1}{2.4}$ )(1+ $\dfrac{1}{3.5}$ )...( 1 + $ \dfrac{1}{x(x+2)} $ = $ \dfrac{31}{16} $
b) $ x^2 $ - 3|x| -4 = 0
c) $ 4^x $ - 12.$ 2^x $ + 32 =0
c) 2x$ (8x-1)^2 $(4x-1) = 9
d) | 3x+2 | < 5x-4
e) $ \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+2} $ + $ \dfrac{x^2+x+2}{x^2+x+3} $ = $ \dfrac{7}{6} $
Bài 2: tính giá trị biểu thức có mối quan hệ ràng buộc gữa các biến
a) Cho x,y,z [TEX] \neq [/TEX] 0 thỏa mãn x+y+z = xyz và $ \dfrac{1}{x} $ + $ \dfrac{1}{y} $ + $ \dfrac{1}{z} $ = $ \sqrt{3} $ . Tính giá trị biểu thức P= $ \dfrac{1}{x^2} $ + $ \dfrac{1}{y^2} $ + $ \dfrac{1}{z^2} $
b)Cho ba số a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a,b,c < 2. Chứng minh rằng 3 số a(2-b); b(2-c); c(2-a) không thể đông thời lớn hơn 1
Bài 3: Tìm cực trị
a) GTNN của A= 3$ x^2 $ + $ y^2 $ khi 3x+y=1
b) GTLN của B= $ \dfrac{x^2}{1 + x^4} $ với x [TEX] \neq [/TEX] 0

 

[eye_smile]

3a,
AD Cauchy-Schwarz, có:
$1={(3x+y)^2}$ \leq $(3+1)(3{x^2}+{y^2})=4A$
\Rightarrow $A$ \geq $\dfrac{1}{4}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=\dfrac{1}{4}$

 

[eye_smile]

3b,Ta có:
${x^4}+1$ \geq $2{x^2}$
\Rightarrow $\dfrac{{x^2}}{{x^4}+1}$ \leq $\dfrac{{x^2}}{2{x^2}}=\dfrac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=1$ hoặc $x=-1$

 

[eye_smile]

2b,Gỉa sử với ĐK $a;b;c$ đã cho thì $a(2-b);b(2-c);c(2-a)$ đồng thời lớn hơn 1
\Rightarrow $a(2-b).b(2-c).c(2-a)>1$
Do $a;b;c$ dương và $a;b;c<2$ nên:
$0<a(2-a)$ \leq ${(\dfrac{a+2-a}{2})^2}=1$
TT, có: $0<b(2-b)$ \leq $1$
$0<c(2-c)$ \leq $1$
Nhân theo vế được
$a(2-b).b(2-c).c(2-a)$ \leq 1
\Rightarrow điều g/s là sai
\Rightarrow 3 tích không đồng thời lớn hơn 1

 

[eye_smile]

2a,Từ $xyz=x+y+z$ \Rightarrow $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1$
Đặt $\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b; \dfrac{1}{z}=c$, ta có:
$a+b+c=\sqrt{3}$ và $ab+bc+ca=1$
Cần tính ${a^2}+{b^2}+{c^2}$
Ta có: ${a^2}+{b^2}+{c^2}={(a+b+c)^2}-2(ab+bc+ca)=3-2=1$
\Rightarrow $P=1$

 

[eye_smile]

1b, ${|x|^2}-3|x|-4=0$
\Leftrightarrow $(|x|-4)(|x|+1)=0$
\Leftrightarrow $|x|=4$
\Leftrightarrow $x=4$ hoặc $x=-4$

c,${({2^x})^2}-2.{2^x}.6+36=4$
\Leftrightarrow ${({2^x}-6)^2}=4$
\Leftrightarrow ${2^x}-6=2$ hoặc ${2^x}-6=-2$
\Leftrightarrow $x=3$ hoặc $x=2$

 

[huuthuyenrop2]

3,
a, 3x+y=1 \Rightarrow y=1-3x
Ta có:
$3x^2+y^2$
$=3x^2+(1-3x)^2$
$=12x^2-6x+1$
$=12(x-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{4}$ \geq $\frac{1}{4}$
GTNN của $3x^2+y^2=\frac{1}{4}$ \Leftrightarrow $x=y=\frac{1}{4}$

 

[huuthuyenrop2]

| 3x+2 | < 5x-4
$\Rightarrow 3x+2<5x-4 \Leftrightarrow -2x<-6 \Leftrightarrow x>3$
hoặc $-(3x+2)<5x-4 \Leftrightarrow -8x<-2 \Leftrightarrow x> \frac{1}{4}$

 

[huuthuyenrop2]

$ \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+2} $ + $ \dfrac{x^2+x+2}{x^2+x+3} $ = $ \dfrac{7}{6} $
đặt x^2+x+1=a
Ta có:
$\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{a+3}=\frac{7}{6}$
$\Leftrightarrow \frac{a^2+3a+a^2+2a+1}{a^2+5a+6}=\frac{7}{6}$
$ \Leftrightarrow \frac{2a^2+5a+1}{a^2+4a+3}=\frac{7}{6}$
$\Leftrightarrow 12a^2+30a+6=7a^2+28a+21$
$\Leftrightarrow 5a^2+2a-15=0$
tính ra a rồi tìm x
@ Nhầm ở đoạn đầu rồi.

 

[vipboycodon]

1b, $x^2-3|x|-4 = 0$ (*)
TH1: $x \ge 0$
(*) => $x^2-3x-4 = 0$
<=> $\left[\begin{matrix} x = -1 \\ x = 4 \end{matrix}\right.$
Th2: $x < 0$
(*) => $x^2+3x-4 = 0$
<=> $\left[\begin{matrix} x = 1 \\ x = -4 \end{matrix}\right.$
---> S = {4;-4}

 

[vipboycodon]

1d, $2x(8x-1)^2(4x-1) = 9$
<=> $(64x^2-16x+1)(8x^2-2x) = 9$
<=> $[8(8x^2-2x)+1](8x^2-2x) = 9$ (*)
Đặt $t = 8x^2-2x$
(*) => $(8t+1)t = 9$
<=> $8t^2+t-9 = 0$
<=> $\left[\begin{matrix} t = 1 \\ t = \dfrac{-9}{8} \end{matrix}\right.$
Tới đây dễ rồi.

 

[riverflowsinyou1]

Giải

Câu dễ nhất =))
1) a
(1+$\frac{1}{1.3}$).(1+$\frac{1}{2.4}$)............(1+$\frac{1}{x.(x+2)}$)=$\frac{4}{3}$.$\frac{9}{8}$....$\frac{x^2+x.2+1}{x.(x+2)}$=$\frac{2.2.3.3.......(x+1)^2}{1.3.2.4.3.5.........x.(x+2)}$=$\frac{2.(x+1)}{x+2}$=$\frac{31}{16}$
\Rightarrow 31.x+62=32.x+32 \Rightarrow x=30