toán hình khó

[embecuao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F
a, Chứng minh DE + DF = 2AM
b, Đường thẳng qua A song song với BC cắt È tại N. Chứng minh N là trung điểm
c, Chứng minh [TEX] {S_{FDC}}^2 \geq 16. S_{AMC} . S_{FNA} [/TEX]

 

[congchuaanhsang]

a, DE//AM nên theo Ta-lét ta có:$\frac{DE}{AM}$=$\frac{BD}{BM}$
DF//AM nên theo Ta-lét ta có: $\frac{DF}{AM}$=$\frac{CD}{CM}$=$\frac{CD}{BM}$
\Rightarrow$\frac{DE}{AM}$+$\frac{DF}{AM}$=$\frac{BD}{BM}$+$\frac{CD}{BM}$
\Leftrightarrow$\frac{DE+DF}{AM}$=$\frac{BD+CD}{BM}$=$\frac{BC}{BM}$=2
\LeftrightarrowDE+DF=2AM
b,AN//CD\Rightarrow$\frac{FN}{NA}$=$\frac{FD}{CD}$
AM//FD\Rightarrow$\frac{FD}{CD}$=$\frac{AM}{CM}$ = $\frac{AM}{BM}$
\Rightarrow$\frac{FN}{NA}$=$\frac{AM}{BM}$(1)
AN//BD\Rightarrow$\frac{NE}{NA}$=$\frac{ED}{BD}$
DE//AM\Rightarrow$\frac{ED}{BD}$=$\frac{AM}{BM}$(2)
Từ (1) và (2)\Rightarrow$\frac{FN}{NA}$=$\frac{NE}{NA}$ \Leftrightarrow FN=NE
\RightarrowN là trung điểm của EF
c,Hai tam giác FNA và FDC đồng dạng (g.g)
\Rightarrow$\frac{S_{FDC}}{S_{FNA}}$=$\frac{AF^2}{CF^2}$
Hai tam giác AMC và FDC đồng dạng (g.g)
\Rightarrow$\frac{S_{AMC}}{S_{FDC}}$=$\frac{AC^2}{CF^2}$
\Rightarrow$\frac{S_{AMC}.S_{FNA}}{S_{FDC}^2}$ = $\frac{AF^2.CA^2}{CF^4}$
Áp dụng BĐT ab\leq$\frac{(a+b)^2}{4}$ ta được:
AF.CA\leq$\frac{(AF+CA)^2}{4}$=$\frac{CF^2}{4}$
\Leftrightarrow$\frac{AF.CA}{CF^2}$\leq4 \Leftrightarrow $\frac{AF^2.CA^2}{CF^4}$\leq16
\Leftrightarrow$\frac{S_{AMC}.S_{FNA}}{S_{FDC}^2}$\leq16
\Leftrightarrow$S_{FDC}^2$\geq$16S_{AMC}.S_{FNA}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow AF=AC