toán hình khó

E

embecuao

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F
a, Chứng minh DE + DF = 2AM
b, Đường thẳng qua A song song với BC cắt È tại N. Chứng minh N là trung điểm
c, Chứng minh [TEX] {S_{FDC}}^2 \geq 16. S_{AMC} . S_{FNA} [/TEX]
 
C

congchuaanhsang

a, DE//AM nên theo Ta-lét ta có:DEAM\frac{DE}{AM}=BDBM\frac{BD}{BM}
DF//AM nên theo Ta-lét ta có: DFAM\frac{DF}{AM}=CDCM\frac{CD}{CM}=CDBM\frac{CD}{BM}
\RightarrowDEAM\frac{DE}{AM}+DFAM\frac{DF}{AM}=BDBM\frac{BD}{BM}+CDBM\frac{CD}{BM}
\LeftrightarrowDE+DFAM\frac{DE+DF}{AM}=BD+CDBM\frac{BD+CD}{BM}=BCBM\frac{BC}{BM}=2
\LeftrightarrowDE+DF=2AM
b,AN//CD\RightarrowFNNA\frac{FN}{NA}=FDCD\frac{FD}{CD}
AM//FD\RightarrowFDCD\frac{FD}{CD}=AMCM\frac{AM}{CM} = AMBM\frac{AM}{BM}
\RightarrowFNNA\frac{FN}{NA}=AMBM\frac{AM}{BM}(1)
AN//BD\RightarrowNENA\frac{NE}{NA}=EDBD\frac{ED}{BD}
DE//AM\RightarrowEDBD\frac{ED}{BD}=AMBM\frac{AM}{BM}(2)
Từ (1) và (2)\RightarrowFNNA\frac{FN}{NA}=NENA\frac{NE}{NA} \Leftrightarrow FN=NE
\RightarrowN là trung điểm của EF
c,Hai tam giác FNA và FDC đồng dạng (g.g)
\RightarrowSFDCSFNA\frac{S_{FDC}}{S_{FNA}}=AF2CF2\frac{AF^2}{CF^2}
Hai tam giác AMC và FDC đồng dạng (g.g)
\RightarrowSAMCSFDC\frac{S_{AMC}}{S_{FDC}}=AC2CF2\frac{AC^2}{CF^2}
\RightarrowSAMC.SFNASFDC2\frac{S_{AMC}.S_{FNA}}{S_{FDC}^2} = AF2.CA2CF4\frac{AF^2.CA^2}{CF^4}
Áp dụng BĐT ab\leq(a+b)24\frac{(a+b)^2}{4} ta được:
AF.CA\leq(AF+CA)24\frac{(AF+CA)^2}{4}=CF24\frac{CF^2}{4}
\LeftrightarrowAF.CACF2\frac{AF.CA}{CF^2}\leq4 \Leftrightarrow AF2.CA2CF4\frac{AF^2.CA^2}{CF^4}\leq16
\LeftrightarrowSAMC.SFNASFDC2\frac{S_{AMC}.S_{FNA}}{S_{FDC}^2}\leq16
\LeftrightarrowSFDC2S_{FDC}^2\geq16SAMC.SFNA16S_{AMC}.S_{FNA}
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow AF=AC
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom