a, DE//AM nên theo Ta-lét ta có:
AMDE=
BMBD
DF//AM nên theo Ta-lét ta có:
AMDF=
CMCD=
BMCD
\Rightarrow
AMDE+
AMDF=
BMBD+
BMCD
\Leftrightarrow
AMDE+DF=
BMBD+CD=
BMBC=2
\LeftrightarrowDE+DF=2AM
b,AN//CD\Rightarrow
NAFN=
CDFD
AM//FD\Rightarrow
CDFD=
CMAM =
BMAM
\Rightarrow
NAFN=
BMAM(1)
AN//BD\Rightarrow
NANE=
BDED
DE//AM\Rightarrow
BDED=
BMAM(2)
Từ (1) và (2)\Rightarrow
NAFN=
NANE \Leftrightarrow FN=NE
\RightarrowN là trung điểm của EF
c,Hai tam giác FNA và FDC đồng dạng (g.g)
\Rightarrow
SFNASFDC=
CF2AF2
Hai tam giác AMC và FDC đồng dạng (g.g)
\Rightarrow
SFDCSAMC=
CF2AC2
\Rightarrow
SFDC2SAMC.SFNA =
CF4AF2.CA2
Áp dụng BĐT ab\leq
4(a+b)2 ta được:
AF.CA\leq
4(AF+CA)2=
4CF2
\Leftrightarrow
CF2AF.CA\leq4 \Leftrightarrow
CF4AF2.CA2\leq16
\Leftrightarrow
SFDC2SAMC.SFNA\leq16
\Leftrightarrow
SFDC2\geq
16SAMC.SFNA
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow AF=AC