Toán toán hình hsg

[gabay20031]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.

1, Chứng minh tam giác AQR và tam giác APS là các tam giác cân.

2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

3, Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR.

4, MN là trung trực của AC.

5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.

 

[xuanphuong1407]

1,

ADQ =

ABR vì chúng là hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD ( cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên

AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tương tự ta có:

ARP=

ADS

do đó AP = AS và

APS là tam giác cân tại A.

2, AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN

SP và AM

RQ.

Mặt khác :

QC và AR là hai đường cao của tam giác PQR cắt nhau tại S nên PS là đường cao của tam giác PQR. Hay PH

QR. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.

3, Theo giả thiết: QA

RS, RC

SQ nên QA và RC là hai đờng cao của

SQR. Vậy P là trực tâm của

SQR.

 

[xuanphuong1407]

4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung tuyến nên AM =

QR.

Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM =

QR.

MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC

5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.