Toán Toán hình 9

[bienxanh20]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn giúp mình bài này nha ... mình cảm ơn rất nhiều!
Cho điểm M bất kì trên nửa đường tròn (O) , đường kính AB=2R (M khác A,B) vẽ các tiếp tuyến Ax,By và Mz của nửa đường tròn . Đường Mz cắt Ax và By lần lượt tại N,P. Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D. CM:
a. Tứ giác AOMN nội tiếp và NP=AN+BP
b. N,P lần lượt là trung điểm AD,BC
c.AD.BC=4R^2
d. Xác định vị trí của M để tứ giác ABCD có diện tích nhỏ nhất.

 

[toilatot]

cho M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm O .AB = 2R (M thuộc AB),vẽ các tiếp tuyến Ax,By,Mz của nửa đường tròn, gọi N ,P lần lượt là giao điển của Mz , Ax , By,
đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D.

a, 4 điểm A,O,M,N thuộc đường tròn
OMN^ = OAN^ = 1v => AOMN nội tiếp đường tròn đường kính ON.

b, N và P lần lượt là trung điểm của AD ,BC
NA,NM là 2 tiếp tuyến => ON L AM (1)
AMB^ = 1v ( chắn 1/2 đường tròn) => BM L AM (2)
(1) và (2) => ON // BD
=> ANO^ = NDM^ (3)( đồng vị)
và MNO^ = NMD^ (4) ( so le trong)
mà MNO^ = ANO^ (5) ( do NO là phân giác của góc ANM - tính chất tiếp tuyến)
(3) (4) và (5) => NDM^ = NMD^ => ND = NM (*)
mặt khác: NA = NM (**) ( 2 tiếp tuyến)
(*) và (**) => NA = ND <=> N là trung điểm của AD
chứng minh P là trung điểm của BC tương tự.

c, AD . BC = 4 R^2:
ON là phân giác của AOM^ và OP là phân giác của góc BOM^
=> ON L OP
=> AON^ = BPO^ ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
=> Δ vuông OAN ~ Δ vuông PBO
=> AN/OB = OA/BP => AN.BP = OA.OB = R^2
mà : AN = AD/2 và BP = BC/2
=> (AD/2)(BC/2) = R^2
=> AD.BC = 4R^2

d, xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích nhỏ nhất
S = (BC + AD).AB/2 = (AD + BC).R ≥ R.2√(AD.BC) (Cauchy 2 số) = 2R.√(4R^2) = 4R
=> S min = 4R^2 khi AD = BC <=> AN = BP <=> ABPN là hình chữ nhật
<=> M là trung điểm của cung AB

 

[maloimi456]

a, Xét tg AOMN có: [tex]\widehat{NAO}+\widehat{NMO}=180^o[/tex]
=> tg AOMN nội tiếp (đpcm)
Mặt khác, theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
NA=NM, PM=PB
=> NP=NM+MP=NA+PB (đpcm)
b, Ta có: [tex]\widehat{AMB}=90^o[/tex] (góc chắn nửa đường tròn)
=> [tex]AC \perp MB[/tex] tại M
mà theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: [tex]OP \perp MB[/tex]
=> AC // OP
mà O là trung điểm của AB
=> P là trung điểm của BC (đpcm)
CMTT, Ta có N là trung điểm của AD (đpcm)
c, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
OP là tia phân giác của [tex]\widehat{BOM}[/tex], ON là tia phân giác của [tex]\widehat{AOM}[/tex]
mà [tex]\widehat{BOM}[/tex] và [tex]\widehat{AOM}[/tex] kề bù nhau
=> [tex]ON \perp OP[/tex]
=> [tex]\widehat{NOP}=90^o[/tex]
Áp dụng vào hệ thức lượng, ta có:
[tex]OM^2=MN.MP[/tex]
<=> [tex]4R^2=4.AN.PB=2AN.2PB=AD.BC[/tex] (đpcm)