[Toán] Hệ phương trình

[traimuopdang_268]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một số bài về hệ pt <đang ôn dạng này ^^>


[TEX]1. \blue \left\{ \begin{array}{l}x+ \sqrt{x^2- 2x+2}=3^{y-1} + 1 \\ y+ \sqrt{y^2- 2y+2}=3^{x-1} + 1 \end{array} \right.[/TEX]



[TEX]2.\blue \left\{ \begin{array}{l} x^2 +y^2 +xy -3x-4y+4=0 \\ x^4+y^2=\frac{697}{81} \end{array} \right.[/TEX]

 

[acsimet_91]

Một số bài về hệ pt <đang ôn dạng này ^^>


[TEX]1. \blue \left\{ \begin{array}{l}x+ \sqrt{x^2- 2x+2}=3^{y-1} + 1 \\ y+ \sqrt{y^2- 2y+2}=3^{x-1} + 1 \end{array} \right.[/TEX]

ĐI lang thang lại gặp chị =))
1,
[TEX] \Rightarrow x+3^{x-1}+\sqrt{x^2-2x+2}=y+3^{y-1}+\sqrt{y^2-2y+2}[/TEX]

Xét hàm [TEX]f(t)=t+3^{t-1}+\sqrt{t^2-2t+2}[/TEX]

[TEX]f'(t)=1+\frac{t-1}{2\sqrt{(t-1)^2+1}}+3^{t-1}.ln3[/TEX]

= [TEX]\frac{2\sqrt{(t-1)^2+1}+t-1}{2\sqrt{(t-1)^2+1}+3^{t-1}.ln3[/TEX]

[TEX]>{ \frac{\sqrt{2}.|t-1|+t-1}{2\sqrt{(t-1)^2+1}+3^{t-1}.ln3} >0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]f(t)[/TEX] đồng biến trên R

[TEX]f(x)=f(y) \Rightarrow x=y[/TEX]

Thay vào 1 pt rồi giải
[TEX]x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}-3^{x-1}=0[/TEX]
Đặt [TEX]x-1=a[/TEX]

[TEX]2.\blue \left\{ \begin{array}{l} x^2 +y^2 +xy -3x-4y+4=0 \\ x^4+y^2=\frac{697}{81} \end{array} \right.[/TEX]

Xét pt(1):

-Coi x là ẩn:

[TEX]pt (1) \Leftrightarrow x^2+x(y-4)+(y-2)^2=0 [/TEX]

[TEX]\delta=(1-y)(3y-7)[/TEX]

ĐK để pt(1) có nghiệm là [TEX]\delta \geq \Rightarrow 1 \leq y \leq \frac{7}{3}[/TEX]

-Coi y là ẩn:

[TEX]pt(1) \Leftrightarrow y^2+y(x-4)+x^2-3x+4=0[/TEX]

[TEX]\delta = x.(4-3x)[/TEX]

ĐK để pt(1) có nghiệm là [TEX]\delta \geq 0 \Rightarrow 0\leq x \leq \frac{4}{3}[/TEX]

Vậy ĐK cần để hệ có nghiệm là [TEX]1\leq y \leq\frac{7}{3}; 0 \leq x \leq\frac{4}{3}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]x^4+y^2 \leq (\frac{4}{3})^4+(\frac{7}{3})^2 =\frac{697}{81}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra [TEX]x=\frac{4}{3}; y=\frac{7}{3}[/TEX]

 

[traimuopdang_268]

[TEX]>{ \frac{\sqrt{2}.|t-1|+t-1}{2\sqrt{(t-1)^2+1}}+3^{t-1}.ln3} >0[/TEX]

Co chỗ này bị đánh lỗi thôi, k ván đề

Thay vào 1 pt rồi giải
[TEX]x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}-3^{x-1}=0[/TEX]
Đặt [TEX]x-1=a[/TEX]

Xét cái này ra cũng thành vấn đề đấy, Nếu chưa làm thì làm ra giấy đi
< Xong paste đây cái đáp số chị xem đúng chưa>
2 bài đều chuẩn rùi :x

Bài 1 sử dụng pp đánh giá, bài 2 sử dụng dk có nghiệm của pt bậc2
Tiếp bài nữa, pp nữa ^^

Thôi, trưa về post tiếp giờ đi học k muộn toi luôn(

 

[traimuopdang_268]

Post tiếp đây^^

[TEX]3. \blue \left\{ \begin{array}{l}x+ y + z =1 \\ x^2 + y^2 + z^2 =1 \\ x^3 + y^3 + z^3 =1 \end{array} \right.[/TEX]


[TEX]4. \blue \left\{ \begin{array}{l}y^2 -xy + 1=0 \\ x^2 + 2x + y^2 +2y +1 =0 \end{array} \right.[/TEX]

 

[nhocngo976]

[TEX]4. \blue \left\{ \begin{array}{l}y^2 -xy + 1=0 \\ x^2 + 2x + y^2 +2y +1 =0 \end{array} \right.[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]x^2+xy+2x+2y=0[/TEX] \Leftrightarrow[TEX](x+y)(x+2)=0[/TEX]

[tex]\Leftrightarrow \left[\begin x=-y \\ x=-2 [/tex]

 

[muathu1111]

Post tiếp đây^^

[TEX]3. \blue \left\{ \begin{array}{l}x+ y + z =1 \\ x^2 + y^2 + z^2 =1 \\ x^3 + y^3 + z^3 =1 \end{array} \right.[/TEX]

Từ PT(2) => x <= 1 ; y <= 1 ; z <= 1
=> x^3 <= x^2 ; y^3 <= y^2 ; z^3 <= z^2
Cộng với vs vế ta đc :
1 = x^3 + y^3 + z^3 <= x^2 + y^2 +z^2 = 1
Dấu = xảy ra khi x^3 = x^2 ; y^3 = y^2 ; z^3 = z^2
=> Hệ có các nghiệm sau : (x ; y ; z) = (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1)
Đang mệt | nên ko muốn đánh TEX ... bạn xem tạm vậy

 

[thanhduc20100]

Mình xin đóng góp mấy bài này:khi (181)::khi (181):
Câu 1: Giải bất pt sau;
[TEX]\sqrt{8{x}^{2}-6x+1}-4x+1\leq 0[/TEX]
Câu 2: Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn: a+b+c[TEX]=\frac{3}{4}[/TEX]
C/m rằng:
[TEX]\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}\leq 3[/TEX]
:khi (189)::khi (189):

 

[silvery21]

Câu 2: Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn: a+b+c[TEX]=\frac{3}{4}[/TEX]
C/m rằng:
[TEX]\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}\leq 3[/TEX]
:khi (189)::khi (189):

câu 1 ko khó bạn trình bày đc nhe'

ta có áp dụng cosi cho 3 so duong
[TEX]\begin{array}{l} \sqrt[3]{{a + 3b}}.1.1 \le \frac{{a + 3b + 1 + 1}}{3} \\\sqrt[3]{{b + 3c}}.1.1 \le \frac{{b + 3c + 1 + 1}}{3} \\ \sqrt[3]{{c + 3a}} .1.1 \le \frac{{c + 3a + 1 + 1}}{3} \\ \end{array}[/TEX]

cộng từng về => dpcm

 

[thanhduc20100]

còn câu 2 nữa bạn((, với bạn cho xin bí quyết khi nhìn vào bài ta biết thêm bớt số hạng thế nào để dùng Cosi@-)@-)8-|

 

[traimuopdang_268]

Post tiếp đây^^

[TEX]3. \blue \left\{ \begin{array}{l}x+ y + z =1 \\ x^2 + y^2 + z^2 =1 \\ x^3 + y^3 + z^3 =1 \end{array} \right.[/TEX]

Từ PT(2) => x <= 1 ; y <= 1 ; z <= 1
=> x^3 <= x^2 ; y^3 <= y^2 ; z^3 <= z^2
Cộng với vs vế ta đc :
1 = x^3 + y^3 + z^3 <= x^2 + y^2 +z^2 = 1
Dấu = xảy ra khi x^3 = x^2 ; y^3 = y^2 ; z^3 = z^2
=> Hệ có các nghiệm sau : (x ; y ; z) = (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1)

Bài này Mp làm cách khác cách bạn, Nhưng xem ra cách của b hữu hiệu hơn thì phải ^^

Pp so sánh đánh giá khi biết vận dụng linh hoạt thật sự hữu dụng ^^ :x

Cách của Mp cũng k dài lắm " So vs quy chế, thi cử hì. Mọi ng tham khảo thêm thôi . Lên làm theo các của Muathu < HIc giờ mùa hè >

Mp áp dụng hằng đẳng thức

[TEX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x +y + x) ( x^2 + y^2 +z^2 -xy - yz - zx)[/TEX]

[TEX]3xyz= xy+ yz+zx[/TEX]

Rồi áp tiếp cái HDT (x +y + x)^2 Khai triển nó ra, cho bằng 1 ---> ........---> 3xyz =0

 

[lantrinh93]

giải hệ pt
[TEX]\sqrt{3x}(1+\frac{1}{x+y})=2[/TEX]
[TEX]\sqrt{7y}(1-\frac{1}{x+y})=4\sqrt{2}[/TEX]

p/s
tớ cũng từng hỏi câu hỏi giống thanhduc
tức là làm sao mà nhìn vào biết làm ngay
có người bảo tớ là rèn bất đẳng thức , giỏi bất đẳng thức có thể giỏi phần này luôn , người đấy bảo chỉ " em tách đa thức thành nhân tử nhiều quá ...> quen ..>nhìn vào là biết làm sao ??
@-)

 

[toi_yeu_viet_nam]

Ừ!thế sau cậu thế nào!!!Rèn đc chứ?Làm thế nào để giỏi BĐT!!!tớ thấy học cái này khó!!đi thi toàn nghĩ là sẽ bỏ thôi!!Các cậu giúp bọn tớ biết đi!!tks nhé

 

[duynhan1]

giải hệ pt
[TEX]\sqrt{3x}(1+\frac{1}{x+y})=2[/TEX]
[TEX]\sqrt{7y}(1-\frac{1}{x+y})=4\sqrt{2}[/TEX]

[TEX]x=0,y=0[/TEX] không là nghiệm.

[TEX]x,y \not= 0 [/TEX], ta có :
[TEX]\Leftrightarrow \left{ \frac{2}{\sqrt{3x}} + \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} = 2 \\ \frac{2}{\sqrt{3x}} - \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} = \frac{2}{x+y} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{4}{3x} - \frac{32}{7y} = \frac{4}{x+y}[/TEX]

Tới đây có lẽ dễ

 

[nhocngo976]

.. :x

[TEX]\left{\begin{ x^3-6x^2y+9xy^2-4y^3=0 \\ \sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2[/TEX]

 

[vivietnam]

.. :x

[TEX]\left{\begin{ x^3-6x^2y+9xy^2-4y^3=0 \\ \sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2[/TEX]

phương trình 1 đẳng cấp
x=y=0 không là nghiệm
chia cả 2 vế của phương trình 1 cho [TEX]y^3[/TEX] sau đó đặt [TEX]\frac{x}{y}=t[/TEX]
ta có phương trình 1 thành
[TEX]t^3-6t^2+9t-4=0[/TEX]
vì [TEX]1-6+9-4=0 \Rightarrow [/TEX]có 1 nghiệm =1

done

 

[nhocngo976]

.. :x

[TEX]\left{\begin{ x^3-6x^2y+9xy^2-4y^3=0(1) \\ \sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2[/TEX]

phương trình 1 đẳng cấp
x=y=0 không là nghiệm
chia cả 2 vế của phương trình 1 cho [TEX]y^3[/TEX] sau đó đặt [TEX]\frac{x}{y}=t[/TEX]
ta có phương trình 1 thành
[TEX]t^3-6t^2+9t-4=0[/TEX]
vì [TEX]1-6+9-4=0 \Rightarrow [/TEX]có 1 nghiệm =1

done

[TEX](1)[/TEX]\Leftrightarrow[TEX](x-y)^2(x-4y)=0[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{ x=y \\ x=4y [/TEX]

thế vào (2)

 

[nhocngo976]

[TEX]\left{\begin{ x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1 \\ \sqrt{x+y}=x^2-y[/TEX]

 

[doigiaythuytinh]

giải hệ pt
[TEX]\sqrt{3x}(1+\frac{1}{x+y})=2[/TEX]
[TEX]\sqrt{7y}(1-\frac{1}{x+y})=4\sqrt{2}[/TEX]

p/s
tớ cũng từng hỏi câu hỏi giống thanhduc
tức là làm sao mà nhìn vào biết làm ngay
có người bảo tớ là rèn bất đẳng thức , giỏi bất đẳng thức có thể giỏi phần này luôn , người đấy bảo chỉ " em tách đa thức thành nhân tử nhiều quá ...> quen ..>nhìn vào là biết làm sao ??
@-)

Cách khác :

Nhân hai vế của (1) với [TEX]\frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX] đựơc (1')
Nhân hai vế của (2) với [TEX]\frac{1}{\sqrt{7}[/TEX] đựơc (2')

Lấy [TEX](1') + i. (2')[/TEX] ta được....

(Ứng dụng số phức ạ )

 

[heraclexma]

[TEX]\left{\begin{ x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1 \\ \sqrt{x+y}=x^2-y[/TEX]

pt1 =>(x + y)^2 - 1= 2xy(1-[TEX]\frac{1}{x+y}[/TEX]) co nghiem
x+y - 1=0 hoặc x + y +1 - [TEX]\frac{2xy}{x+y}[/TEX]
cai t1 don gian cai t2 vo nghiem vi x+y khac 0

 

[heraclexma]

x+ [tex]\frac{x+3y}{x^2+y^2}[/tex] = 3
y+ [tex]\frac{3x-y}{x^2+y^2}[/tex] = 0

va con nay cung kho

[tex]x^4 - 3y = y^2 + 3x[/tex]
[tex]x(y^3 - 3)=y(x+3)[/tex]