[Toán] GTLN GTNN, ý tưởng giải 1 bài toán

[yct_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x,y,z >0 và xy+yz+zx [TEX]\geq[/TEX] 3

[TEX]P = \frac{x^3}{\sqrt[2]{y^2 + 3}} + \frac{y^3}{\sqrt[2]{z^2 +3}} + \frac{z^3}{\sqrt[2]{x^2 +3}}[/TEX]

,,,,,Tìm GTNN

 

[yct_]

$\color{Blue}{\fbox{Ý tưởng giải bài toán}\bigstar\text{GTNN}\bigstar}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài này nhìn là biết cách giải rồi. Đồng bậc hóa biểu thức và áp dụng AM-GM:
$$P\ge \sum \dfrac{x^3}{\sqrt{(y+z)(y+x)}} \ge \sum \dfrac{2x^3}{x+2y+z}$$
Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$$\sum \dfrac{x^3}{x+2y+z} \ge \dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)} \ge \dfrac{x^2+y^2+z^2}{4} \ge \dfrac{3}{4} \to P \ge \dfrac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

 

[yct_]

Bài này nhìn là biết cách giải rồi. Đồng bậc hóa biểu thức và áp dụng AM-GM:
$$P\ge \sum \dfrac{x^3}{\sqrt{(y+z)(y+x)}} \ge \sum \dfrac{2x^3}{x+2y+z}$$
Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$$\sum \dfrac{x^3}{x+2y+z} \ge \dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)} \ge \dfrac{x^2+y^2+z^2}{4} \ge \dfrac{3}{4} \to P \ge \dfrac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

$\color{Blue}{\fbox{Bạn đúng là thánh}\bigstar\text{huynhbachkhoa23}\bigstar}$