Toán Toán Đại Số 8

[anhtrucle]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a là số tự nhiên chia 5 dư 2. C/m B = a^6 + a^4 + 4a^2 + 4 chia hết cho 25.

Cho n là số tự nhiên chia 5 dư 1. C/m B = n^8 + 3n^4 - 4 chia hết cho 100.

 

[Blue Plus]

Cho n là số tự nhiên chia 5 dư 1. C/m B = n^8 + 3n^4 - 4 chia hết cho 100.

$ B = n^8 + 3n^4 - 4 = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2) $
$n = 5k + 1 $
Nếu $ n $ chẵn $ \Rightarrow 5k $ lẻ $ \Rightarrow k $ lẻ $ \Rightarrow k = 2h + 1 $ $ \Rightarrow n = 5k + 1 = 5(2h + 1) + 1 = 10h + 5 + 1 = 10h + 6 $
$ B = (5k + 1 - 1)(n + 1)(n^2 + 1)[(10h + 6)^2 - 2(10h + 6) + 2][(10h + 6)^2 + 2(10h + 6) + 2] \\ = 5k(n + 1)(n^2 + 1)(100h^2 + 100h + 26)(100h^2 + 140h + 50) \\ = 5k(n + 1)(n^2 + 1) . 2(50h^2 + 50h + 13) . 10(10h^2 + 14h + 5) \\ = 100k(n + 1)(n^2 + 1)(50h^2 + 50h + 13)(10h^2 + 14h + 5) \vdots 100 $
Nếu $ n $ lẻ $ \Rightarrow 5k $ chẵn $ \Rightarrow k $ chẵn $ \Rightarrow k = 2h $ $ \Rightarrow n = 5k + 1 = 5 . 2h + 1 = 10h + 1 $
$ B = (5k + 1 - 1)(10h + 1 + 1)[(10h + 1)^2 + 1](n^2 - 2n + 2)[(5k + 1)^2 + 2(5k + 1) + 2] \\ = 5k(10h + 2)(100h^2 + 20h + 2)(n^2 - 2n + 2)(25k^2 + 20k + 5) \\ = 5k . 2(5h + 1) . 2(50h^2 + 10h + 1)(n^2 - 2n + 2) . 5(5k^2 + 4k + 1) \\ = 100k(5h + 1)(50h^2 + 10h + 1)(n^2 - 2n + 2)(5k^2 + 4k + 1) \vdots 100 $
Vậy ta có ĐPCM

 

[queson75]

bài này sai đề bạn ơi chỉ chia hết cho 5 thôi
$\begin{array}{l}
{a^6} + {a^4} + 4{a^2} + 4\\
= {a^4}\left( {{a^2} + 1} \right) + 4\left( {{a^2} + 1} \right)\\
= \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 4} \right)\\
= \left( {{{(5k + 2)}^2} + 1} \right)\left( {{{(5k + 2)}^2} + 4} \right)\\
= \left( {25{k^2} + 20k + 4 + 1} \right)\left( {25{k^2} + 20k + 4 + 4} \right)\\
= \left( {25{k^2} + 20k + 5} \right)\left( {25{k^2} + 20k + 8} \right)
\end{array}$

 

[Blue Plus]

Cho a là số tự nhiên chia 5 dư 2. C/m B = a^6 + a^4 + 4a^2 + 4 chia hết cho 25.

$ n = 5k + 2 $
$ B = a^6 + a^4 + 4a^2 + 4 \\ = a^4(a^2 + 1) + 4(a^2 + 1) \\ = (a^2 + 1)(a^4 + 4) \\ = [(5k + 2)^2 + 1][(5k + 2)^4 + 4] \\ = (25k^2 + 20k + 4 + 1)(625k^4 + 1000k^3 + 600k^2 + 160k + 16 + 4) \\ = (25k^2 + 20k + 5)(625k^4 + 1000k^3 + 600k^2 + 160k^2 + 20) \\ = 5(5k^2 + 4k + 1) . 5(125k^4 + 200k^3 + 120k^2 + 32k + 4) \\ = 25(5k^2 + 4k + 1)(125k^4 + 200k^3 + 120k^2 + 32k + 4)\vdots 25 $

bài này sai đề bạn ơi chỉ chia hết cho 5 thôi
$\begin{array}{l}
{a^6} + {a^4} + 4{a^2} + 4\\
= {a^4}\left( {{a^2} + 1} \right) + 4\left( {{a^2} + 1} \right)\\
= \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 4} \right)\\
= \left( {{{(5k + 2)}^2} + 1} \right)\left( {{{(5k + 2)}^2} + 4} \right)\\
= \left( {25{k^2} + 20k + 4 + 1} \right)\left( {25{k^2} + 20k + 4 + 4} \right)\\
= \left( {25{k^2} + 20k + 5} \right)\left( {25{k^2} + 20k + 8} \right)
\end{array}$

$ {a^6} + {a^4} + 4{a^2} + 4\\
= {a^4}\left( {{a^2} + 1} \right) + 4\left( {{a^2} + 1} \right)\\
= \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^{\color{Red} 4}} + 4} \right)\\
= \left( {{{(5k + 2)}^2} + 1} \right)\left( {{{(5k + 2)}^{\color{Red} 4}} + 4} \right)\\
... $