toan dai nang cao

[ledinhtoan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y\geq\sqrt[2]{2}


CMR;(x+y)(x^2+y^2)\leqx^5+y^5

 

[vy000]

Sửa lại đề tí:


cho:$ x+y \ge \sqrt[2]{2}$


CMR:$(x+y)(x^2+y^2)\le x^5+y^5$


Ta có:


$(x+y)^3(x^2+y^2) \le 4(x^3+y^3)(x^2+y^2) \le 4.2(x^5+y^5) \le (x+y)^2(x^5+y^5)$


$\Rightarrow (x+y)(x^2+y^2)\le x^5+y^5$

 

[hthtb22]

Bổ đề:
Với a,b là những số thực không âm ta có:
$$2(a^{m+n}+b^{m+n}) \ge (a^m+b^m)(a^n+b^n)$$
Trong đó : $m,n \in N*$
Cm = cách biến đổi tương đương.
Áp dụng:
$$(a+b)(a^2+b^2) \le 2(a^3+b^3) \le \dfrac{1}{2}(a^2+b^2)(a^3+b^3) \le a^5+b^5$$.
Dấu = khi $a=b=\sqrt{2}.$