Toán 9 Toán cực trị

[minhgiang18042005@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y và [tex]x^{3}+y^{3}+6xy\leq 8[/tex]
Tìm min của biểu thức [tex]P= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/tex]

 

[7 1 2 5]

Ta có: [tex]x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\geq (x+y)(2xy-xy)=xy(x+y)\Rightarrow 8\geq x^3+y^3+6xy\geq xy(x+y)+6xy=xy(x+y+6)\geq xy(2\sqrt{xy}+6)\Rightarrow xy(\sqrt{xy}+3)\leq 4[/tex]
Đặt [tex]t=\sqrt{xy}\Rightarrow t^2(t+3)\leq 4\Rightarrow t^3+3t^2-4\leq 0\Rightarrow (t-1)(t^2+4t+4)\leq 0\Rightarrow (t-1)(t+2)^2\leq 0\Rightarrow t-1\leq 0 \Rightarrow t\leq 1[/tex]
[tex]P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}=\frac{2}{t}\geq \frac{2}{1}=2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1.

 

[ankhongu]

Ta có: [tex]x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\geq (x+y)(2xy-xy)=xy(x+y)\Rightarrow 8\geq x^3+y^3+6xy\geq xy(x+y)+6xy=xy(x+y+6)\geq xy(2\sqrt{xy}+6)\Rightarrow xy(\sqrt{xy}+3)\leq 4[/tex]
Đặt [tex]t=\sqrt{xy}\Rightarrow t^2(t+3)\leq 4\Rightarrow t^3+3t^2-4\leq 0\Rightarrow (t-1)(t^2+4t+4)\leq 0\Rightarrow (t-1)(t+2)^2\leq 0\Rightarrow t-1\leq 0 \Rightarrow t\leq 1[/tex]
[tex]P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}=\frac{2}{t}\geq \frac{2}{1}=2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1.

Hoặc là áp đụng hđt : [tex]a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab - bc -ca)[/tex]
Từ GT --> [tex]a + b \leq 2[/tex]
Vậy : [tex]P \geq \frac{4}{x + y} \geq 2[/tex]

@minhgiang18042005@gmail.com À mà hình như đề thiếu đk x, y > 0