Toán 8 toán cực trị nâng cao

[Khuất Hải Đăng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho: [tex]a,b,c>0; a+b+c=3; a\leq b\leq c[/tex]
tìm GTLN của : [tex]M=ab^{2}+a^{2}c+bc^{2}[/tex]

 

[huythong1711.hust]

Vì [tex]a\leq b\leq c[/tex] nên:
[tex]c(b-a)(c-b)\geq 0 \Leftrightarrow b^2c+c^2a\leq abc+c^2b\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq abc+a^2b+c^2b[/tex]
Mà[tex]abc<2abc[/tex] nên:[tex]M\leq 2abc+a^2b+c^2b=b(a+c)^2[/tex]
Lại có: [tex]b(a+c)^2[/tex] = [tex]4b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leq 4.\left [ b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2} \right ]^3.\frac{1}{27}=\frac{4(a+b+c)^3}{27}=4[/tex]
Vậy GTLN của M=4 xảy ra khi a = 2; b = 0; c = 1 và các hoán vị