Toán 9 Toán chuyên

[Wweee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho các số nguyên dương x,y,z và biểu thức
P=[tex]\frac{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}{x^2(x+y)+y^2(y+z)+z^2(z+x)}[/tex]
Chứng minh rằng P là số nguyên và P chia hết cho 6
2) Cho 19 điểm phâm biệt nằm trong 1 tam giác đều có cạnh bằng 3 , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Chứng minh rằng luôn tìm được 1 tam giác có ba đỉnh là 3 trong 19 điểm đã cho có diện tích không lớn hơn [tex]\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]

 

[7 1 2 5]

1) Bạn xem lại đề.
2) Chia tam giác đều có cạnh bằng 3 thành 9 tam giác đều có cạnh là 1. 9 tam giác đó có diện tích là [tex]\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
Theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tại ít nhất [TEX][\frac{19}{9}]+1=3[/TEX] điểm cùng nằm trong 1 tam giác nhỏ. Tam giác tạo bởi 3 điểm đó có diện tích không lớn hơn tam giác nhỏ. Từ đó ta có đpcm.

 

[Wweee]

Mình nhầm nha sorry bạn :v P=[tex]\frac{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}{x^2(x+y)+y^2(y+z)+z^2(z+x)+2xyz}[/tex]

 

[iceghost]

Mình nhầm nha sorry bạn :v P=[tex]\frac{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}{x^2(x+y)+y^2(y+z)+z^2(z+x)+2xyz}[/tex]

1) Thay $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$ thì rõ ràng $P$ không phải là số nguyên.

Đề đúng phải là $P = \dfrac{A}{B} = \dfrac{(x^2 - y^2)^3 + (y^2 - z^2)^3 + (z^2 - x^2)^3}{x^2(y + z) + y^2(x + z) + z^2(y + x) + 2xyz}$.

Ở lớp 8, có một bài toán khá là kinh điển:

Cho $a + b + c = 0$. Chứng minh $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

Bạn có thể tự chứng minh lại.

Do đó: tử thức $A = 3(x^2 - y^2)(y^2 - z^2)(z^2 - x^2)$.

Đối với mẫu thì khai triển này quá quen rồi: $B = (x + y)(y + z)(z + x)$.

Từ đó $P = \dfrac{A}{B} = 3(x - y)(y - z)(z - x)$ rõ ràng là số nguyên.

Tới đây bạn có thể đặt $x = y + a$ và $z = x + b$ rồi có $P = -3ab(a + b)$.
Nếu $a$ chẵn hoặc $b$ chẵn thì $P$ chia hết cho $6$. Nếu $a$ và $b$ cùng lẻ thì $a + b$ chẵn, $P$ cũng chia hết cho $6$.

Vậy ta có đpcm.