Toán 9 toán chuyên vào 10(Quảng Nam)

[tranquanghuy21042004]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho [tex]A = 2(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+ ... + n^{2015}) (n \epsilon Z^{+})[/tex]
chứng minh [tex]A[/tex] chia hết cho [tex]n(n+1)[/tex]
Câu 2: cho 3 số thực [tex]x,y,z[/tex] thỏa mãn [tex]x^{2}+ y^{2}+z^{2} \leq 9[/tex]
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức [tex]P = x+y+z-(xy + yz +zx)[/tex]
Câu 3: Giải hệ pt: [tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y-xy=3 &\\ (x^{2} +y^{2})(xy+1)=4-(x-y)^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
Câu 4: tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn đẳng thức [tex]9a^{2} -6a-b^{3} = 0[/tex]
giúp mình vs các bạn ơi!!
tks nhé mn!!!!!
#nbkqn.

 

[hdiemht]

Câu 1: Cho [tex]A = 2(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+ ... + n^{2015}) (n \epsilon Z^{+})[/tex]
chứng minh [tex]A[/tex] chia hết cho [tex]n(n+1)[/tex]

Ta có:
[tex]2[1+(n-1)^{2015}]\vdots n[/tex]
[tex]2[2+(n-2)^{2015}]\vdots n[/tex]
$...$
$...$
$...$
[tex]2[(\frac{n-1}{2})^{2015}+(\frac{n+1}{2})^{2015}]\vdots n[/tex]
$=>...$
Vậy [tex]A \vdots n[/tex]
Chứng minh tương tự: [tex]A \vdots (n+1)[/tex]
Mà $n;n+1$ là 2 số nguyên tố cùng nhau nên [tex]A \vdots n(n+1)[/tex]

Câu 2: cho 3 số thực [tex]x,y,z[/tex] thỏa mãn [tex]x^{2}+ y^{2}+z^{2} \leq 9[/tex]
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức [tex]P = x+y+z-(xy + yz +zx)[/tex]

Ta có:
$xy+yz+xz= \frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}\geq \frac{(x+y+z)^2-9}{2}\Rightarrow x+y+z-(xy+yz+xz)\leq x+y+z-\frac{(x+y+z)^2-9}{2}=\frac{2(x+y+z)-(x+y+z)^2+9}{2}=\frac{-[(x+y+z)^2-2(x+y+z)+1]+10}{2}= 5-\frac{(x+y+z-1)^2}{2}\leq 5$
Dấu $''=''$.....

Câu 3: Giải hệ pt: [tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y-xy=3 &\\ (x^{2} +y^{2})(xy+1)=4-(x-y)^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]

$PT(2)$: $(x^{2} +y^{2})(xy+1)=4-(x-y)^{2} \Leftrightarrow (x^{2} +y^{2})(xy+1)=4-(x^2-2xy+y^2)=2-(x^2+y^2)+2(xy+1)\Leftrightarrow (xy+1)(x^2+y^2-2)+(x^2+y)-2=0\Leftrightarrow (x^2+y^2-2)(xy+2)=0=>....$

Câu 4: tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn đẳng thức [tex]9a^{2} -6a-b^{3} = 0[/tex]

$9a^{2} -6a-b^{3} = 0\Leftrightarrow (3a-1)^2=b^3+1\Leftrightarrow (3a-1)^2=(b+1)(b^2-b+1)$
Gọi: $d=(b+1;b^2-b+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
(b+1) \vdots d& & \\
(b^2-b+1) \vdots d& &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(b^2+2b+1) \vdots d & & \\
(b^2-b+1) \vdots d& &
\end{matrix}\right.\Rightarrow 3b\vdots d\Rightarrow 3b-3(b+1) \vdots d \Rightarrow -3\vdots d\Rightarrow d\in \left \{ -3;-1;1;3 \right \}$
VT không chia hết cho $3$ nên $d\in \left \{ -1;1\right \}$
Vậy $b+1;b^2-b+1$ là các SCP
Đến đây OK