Toán BĐT trong tam giác

[Trai Bảo Bình]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [tex]\Delta ABC[/tex] , điểm M nằm trong [tex]\Delta ABC[/tex] . AM, BM, CM cắt BC, CA, AB lần lượt tại [tex]A_{1},B_{1},C_{1}[/tex] . Tìm vị trí điểm M để :
[tex]B= \frac{MA}{MA_{1}}+\frac{MB}{MB_{1}}+\frac{MC}{MC_{1}}[/tex] đạt giá trị nhỏ nhất

 

[iceghost]

Kẻ $MH \perp BC, AK \perp BC$
Dễ thấy $\dfrac{MA_1}{AA_1} = \dfrac{MH}{AK} = \dfrac{\dfrac{1}2.BC.MA_1}{\dfrac{1}2.BC.AA_1} = \dfrac{S_{MBC}}{S_{ABC}}$
$\implies \dfrac{AA_1}{MA_1} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{MBC}}$
Dấu '=' xảy ra khi $AA_1 \perp BC$
Tương tự : $\dfrac{BB_1}{MB_1} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{MAC}}$
và $\dfrac{CC_1}{MC_1} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{MAB}}$
$\implies \dfrac{AA_1}{MA_1}+\dfrac{BB_1}{MB_1}+\dfrac{CC_1}{MC_1} = S_{ABC}(\dfrac{1}{S_{MAB}}+\dfrac{1}{S_{MBC}} + \dfrac{1}{S_{MAC}})$
$= (S_{MAB} + S_{MBC}+S_{MAC})((\dfrac{1}{S_{MAB}}+\dfrac{1}{S_{MBC}} + \dfrac{1}{S_{MAC}})$
$\geqslant 9$
$\implies B = \dfrac{AA_1}{MA_1}-1+\dfrac{BB_1}{MB_1}-1+\dfrac{CC_1}{MC_1}-1$
$\geqslant 9 - 3 = 6$
Dấu '=' xảy ra $\iff M$ là trực tâm $\triangle{ABC}$

 

[trunghieule2807]

Hay quá