Toán BDT 10

[royala1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho một loạt bài BPT để mọi người cùng làm nhé.
Toàn BTVN cho giáo cho( Toàn bài dễ 30' xong tất )
Bài : 1
[TEX]x, y, z [/TEX] thuộc [TEX][0:1][/TEX] CM:
[TEX] \frac{x}{1+ yz} + \frac{y}{1+xz} + \frac{z}{1 + xy} < 2[/TEX]
Bài : 2
[TEX]a,b,c > 0[/TEX] và a+b+c = 3abc.
CM: [TEX] \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \geq 3[/TEX]
Bài : 3
Nếu a+b+c = 1 thì :
[TEX]\frac{a}{a+1}+ \frac{b}{b+1}+ \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{4}[/TEX]
Bài :4
x, y,c >0. CM :
[TEX] \frac{x^3}{y^3} + \frac{y^3}{z^3} + \frac{z^3}{x^3}\geq\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{z^2} + \frac{z^2}{x^2} [/TEX]
Bài : 5
x,y,z # 0 TM: xy + yz + xz = 4
Cm: [TEX]x^4 + y^4 + z^4 \geq \frac{16}{3}[/TEX]
Bài : 6.
Tìm GTLM của U với:
U = (3-x)(4-y)(2x+3y) và : [TEX]0\leq x \leq 3 : 0 \leq y\leq4[/TEX](Riêng bài này thì hơi khó) ^^!

 

[duynhan1]

Bài : 2
[TEX]a,b,c > 0[/TEX] và a+b+c = 3abc.
CM: [TEX] \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \geq 3[/TEX]

ta có :a+b+c = 3abc
\Leftrightarrow[TEX] \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}= 3[/TEX]
Lại có :
[TEX] \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + 1 \geq [/TEX] [TEX] \frac{3}{ab}[/TEX]
[TEX] \frac{1}{a^3} + \frac{1}{c^3} + 1 \geq [/TEX] [TEX] \frac{3}{ac}[/TEX]
[TEX] \frac{1}{c^3} + \frac{1}{b^3} + 1 \geq [/TEX] [TEX] \frac{3}{cb}[/TEX]
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh

Cho một loạt bài BPT để mọi người cùng làm nhé.
Toàn BTVN cho giáo cho( Toàn bài dễ 30' xong tất )

Bài : 5
x,y,z # 0 TM: xy + yz + xz = 4
Cm: [TEX]x^4 + y^4 + z^4 \geq \frac{16}{3}[/TEX]

Áp dụng BDT [TEX]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]ta có
[TEX]x^4 + y^4 + z^4 \geq x^2y^2 + z^2y^2 + x^2z^2[/TEX] [TEX](1)[/TEX]
Áp dụng BDT [TEX]3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2[/TEX] ta có
[TEX]x^2y^2 + z^2y^2 + x^2z^2\geq(xy+yz+zx)^2=16[/TEX] [TEX](2)[/TEX]
từ (1) và (2) ta có đpcm

Trước hết chứng minh BDT [TEX]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]Ta nhân 2 hai vế rồi chuyến về vế trái viết thành tổng 3 cái bình phương.
Còn BDT sau ta mở ra và rút gọn thì thành BDT đầu
Cảm ơn đi chứ.

 

[royala1]

BDT đã cho tương đương với :
[TEX]3-\frac{1}{a+1}- \frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1} \leq \frac{3}{4}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{a+1}+ \frac{1}{b+1}+ \frac{1}{c+1} \leq \frac{9}{4}[/TEX]
Áp dụng BDT (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)\geq 9 cho 3 số trên ta được điều phải chứng minh.

Đếk hiểu gì luôn.
Sai hết òi ^^!
Làm lại nha bạn.
P/s : ai làm được câu cuối thì em thanks liền.

 

[vodichhocmai]

x, y,c >0. CM :
[TEX] 4)\frac{x^3}{y^3} + \frac{y^3}{z^3} + \frac{z^3}{x^3}\geq\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{z^2} + \frac{z^2}{x^2} [/TEX]
Bài : 5
x,y,z # 0 TM: xy + yz + xz = 4
Cm: [TEX]x^4 + y^4 + z^4 \geq \frac{16}{3}[/TEX]
Bài : 6.
Tìm GTLM của U với:
U = (3-x)(4-y)(2x+3y) và : [TEX]0\leq x \leq 3 : 0 \leq y\leq4[/TEX](Riêng bài này thì hơi khó) ^^!

[TEX]4)\righ a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2[/TEX] với [TEX]a.b.c=1[/TEX]

Luôn đúng vì .

[TEX]a^3+b^3+c^3\ge \sqrt[3]{abc}(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

[TEX]5)x^4+y^4+z^4\ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}\ge \frac{(xy+yz+zx)^2}{3} [/TEX]

[TEX]6) 6U=(6-2x)(12-3y)(2x+3y)\le \(\frac{6-2x+12-3y+2x+3y}{3}\)^3[/TEX]

[TEX]\righ U\le 36[/TEX]

 

[royala1]

Áp dụng BDT [TEX]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]ta có
[TEX]x^4 + y^4 + z^4 \geq x^2y^2 + z^2y^2 + x^2z^2[/TEX] [TEX](1)[/TEX]
Áp dụng BDT [TEX]3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2[/TEX] ta có
[TEX]x^2y^2 + z^2y^2 + x^2z^2\geq(xy+yz+zx)^2=16[/TEX] [TEX](2)[/TEX]
từ (1) và (2) ta có đpcm

Bạn giải thích cho mình cái trên cái. [TEX]3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2[/TEX]
Bdt ý được công nhận à hay phải CM ?
Cách mình làm hơi khác của bạn nên ko hiểu mấy ^^!

 

[vodichhocmai]

chứng minh đi bạn

Ở đây [TEX]abc=1[/TEX]

[TEX]\righ a^3+b^3+c^3\ge \sqrt[3]{abc}(a^2+b^2+c^2)=abc(a^2+b^2+c^2) [/TEX]

 

[vodichhocmai]

chứng minh đi bạn

Chứng minh được mình sẽ cảm ơn nhiều.

[TEX]a^3+a^3+1\ge 3a^2[/TEX]

[TEX]\righ 2(a^3+b^3+c^3)+3\ge 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

[TEX]\righ 3(a^3+b^3+c^3)\ge 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

Vậy ta chứng minh xong.

 

[royala1]

Thanks 2 bạn rất nhiều đã giải quyết giúp mình bài 6, còn những bài khác thì ko vấn đề gì ^^!.
Chỉ còn lại 1 bài 1 duy nhất thui cố lên nào !!!

 

[vodichhocmai]

Cho một loạt bài BPT để mọi người cùng làm nhé.
Toàn BTVN cho giáo cho( Toàn bài dễ 30' xong tất )
Bài : 1
[TEX]x, y, z [/TEX] thuộc [TEX][0:1][/TEX] CM:
[TEX] \frac{x}{1+ yz} + \frac{y}{1+xz} + \frac{z}{1 + xy} < 2[/TEX]

[TEX](1-y)(1-z)\ge 0\righ 1+yz\ge y+z[/TEX]

[TEX]LHS\le \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} <2 [/TEX]

 

[vodichhocmai]

Một trong ba số có 1 số bằng không thì hiển nhiên đúng.

Xét 3 số khác khôbg ta có .

[TEX]x=\frac{a}{b+c}\Rightarrow\left{0<x<1\\a=x(b+c)[/TEX]

[TEX] \Rightarrow a>xa\Rightarrow x<\frac{2a}{a+b+c[/TEX]

[TEX] \Rightarrow A=\sum_{cyc}\frac{a}{b+c}<\sum_{cyc} \frac{2a}{a+b+c}=2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A< 2[/TEX]

Vì [TEX]A[/TEX] vét hết giá trị đến [TEX]2[/TEX] nên không thể thay số nào nhỏ hơn [TEX]2[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]a^3+a^3+1\ge 3a^2[/TEX]
[TEX]\righ 2(a^3+b^3+c^3)+3\ge 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\righ 3(a^3+b^3+c^3)\ge 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
Vậy ta chứng minh xong.

Cảm ơn nhiều mình hiểu rồi
Nhưng không phải là BDT bạn đã nói trong khi chứng minh

 

[vodichhocmai]

Cảm ơn nhiều mình hiểu rồi
Nhưng không phải là BDT bạn đã nói trong khi chứng minh

Nhiều lúc nói với bạn thế nào là bất đẳng thức thuần nhất bạn cũng chưa hiểu được . Do đó hãy để thời gian làm cho bạn có kiến thức cao hơn rồi tính tiếp.

 

[bigbang195]

Ở đây [TEX]abc=1[/TEX]

[TEX]\righ a^3+b^3+c^3\ge \sqrt[3]{abc}(a^2+b^2+c^2)=abc(a^2+b^2+c^2) [/TEX]

Bất Đẳng Thức Hoán Vị !!!!!!!!!!

 

[bigbang195]

Chứng minh cái đó thế nào vậy anh. em phải chuẩn hóa [TEX]\sum a=3[/TEX]
thì [TEX]\sum a^3 \ge \sum a^2 \ge \sqrt[3]{abc}(\sum a^2)[/TEX]
Nhưng phải chuẩn hóa nên nó ko đẹp lắm

 

[duynhan1]

Nhiều lúc nói với bạn thế nào là bất đẳng thức thuần nhất bạn cũng chưa hiểu được . Do đó hãy để thời gian làm cho bạn có kiến thức cao hơn rồi tính tiếp.

Vì mình mới chỉ học lớp 10 lại không được học nâng cao nên kiến thức còn ít. Mong bạn thông cảm.
b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(

 

[vodichhocmai]

Chứng minh cái đó thế nào vậy anh. em phải chuẩn hóa [TEX]\sum a=3[/TEX]
thì [TEX]\sum a^3 \ge \sum a^2 \ge \sqrt[3]{abc}(\sum a^2)[/TEX]
Nhưng phải chuẩn hóa nên nó ko đẹp lắm

Nếu em không chuẩn hoá thì ..

[TEX]\left{x=\frac{3a}{a+b+c}\\y=\frac{3b}{a+b+c}\\ z=\frac{3c}{a+b+c}[/TEX]

Ta quay về bài chuẩn hoá

 

[bigbang195]

Em không hiểu gì cả ,

 

[bigbang195]

À.Vậy có nghĩ là anh chuẩn hóa x+y+z =3 rùi mà

 

[bigbang195]

Anh giúp em luôn bài này. Trong diễn đàn BDT nhưng giờ đó nghỉ rùi chán quá !
Let [TEX]a,b,c > 0[/TEX] and [TEX]a + b + c = 3[/TEX] .Prove that !
[TEX]\frac {a + b}{2ab + 1} + \frac {b + c}{2bc + 1} + \frac {a + c}{2ac + 1} \ge 2[/TEX]

Em nghĩ nát óc mấy gày không ra

 

[vodichhocmai]

Anh giúp em luôn bài này. Trong diễn đàn BDT nhưng giờ đó nghỉ rùi chán quá !
Let [TEX]a,b,c > 0[/TEX] and [TEX]a + b + c = 3[/TEX] .Prove that !
[TEX]\frac {a + b}{2ab + 1} + \frac {b + c}{2bc + 1} + \frac {a + c}{2ac + 1} \ge 2[/TEX]
Em nghĩ nát óc mấy gày không ra

[TEX]LHS\ge \frac{4(a+b+c)^2}{(a+b)(2ab+1)+(b+c)(2bc+1)+(a+c)(2ac+1)}[/TEX]

[TEX]LHS\ge \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2b+b^2c+c^2a)+2(b^2a+c^2b+a^2c)+2(a+b+c)}[/TEX]

[TEX]LHS\ge \frac{4(a+b+c)^2}{2(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc+2(a+b+c)}[/TEX]

[TEX]LHS\ge \frac{4(a+b+c)^2 }{6(ab+bc+ca)-6abc+6}[/TEX]

Vậy ta cần chứng minh.

[TEX]2(a+b+c)^2\ge 6(ab+bc+ca)-6abc+6[/TEX]

Tới đây dùng pqr là ok p/s ăn cơm cái