toán bất đẳng thức

[conheo113]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 và ac + bc +1 \leq $\dfrac{3c}{2}$. c/m rằng
P = a + b + $c^2 + \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}$\geq $\dfrac{27}{2}$

 

[congchuaanhsang]

Vì c>0\Rightarrow$a+b+\dfrac{1}{c}$\leq$\dfrac{3}{2}$

Ta có:

VT=$a+b+c^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c}$

=$(8a+8b+\dfrac{1}{a^2})+(8b+8b+\dfrac{1}{b^2})+(c^2+\dfrac{8}{c}+\dfrac{8}{c})$-15$(a+b+\dfrac{1}{c})$

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta được

VT\geq3($\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{64}$)-$15(a+b+\dfrac{1}{c})$

\LeftrightarrowVT\geq3.4.3-$15(a+b+\dfrac{1}{c})$

Mà a+b+$\dfrac{1}{c}$\leq$\dfrac{3}{2}$

\RightarrowVT\geq3.4.3-$15.\dfrac{3}{2}$=$\dfrac{27}{2}$=VP

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=$\dfrac{1}{2}$ ; c=2