Toán Bất đẳng thức

[phamtiendatb1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn [TEX]{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3. [/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:[TEX]P = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \frac{{{b^3}}}{{\sqrt {1 + {c^2}} }} + \frac{{{c^3}}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}[/TEX].

 

[hoanghondo94]

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwazt , ta được:

[TEX]P \ge \frac{{{{({a^2} + {b^2} + {c^2})}^2}}}{{a\sqrt {1 + {b^2}} + b\sqrt {1 + {c^2}} + c\sqrt {1 + {a^2}} }} = \frac{9}{{a\sqrt {1 + {b^2}} + b\sqrt {1 + {c^2}} + c\sqrt {1 + {a^2}} }}.[/TEX]​

+ Từ đó, ta chứng minh:

[TEX]\frac{9}{{a\sqrt {1 + {b^2}} + b\sqrt {1 + {c^2}} + c\sqrt {1 + {a^2}} }} \ge \frac{3}{{\sqrt 2 }}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow a\sqrt {1 + {b^2}} + b\sqrt {1 + {c^2}} + c\sqrt {1 + {a^2}} \le 3\sqrt 2 {\rm{ (1)}}{\rm{.}}[/TEX]​

+ Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwazt, ta được:
.

[TEX]a\sqrt {1 + {b^2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {2{a^2}(1 + {b^2})} \le \frac{{2{a^2} + {b^2} + 1}}{{2\sqrt 2 }}][/TEX]
​

+ Tương tự, ta có:

[TEX]b\sqrt {1 + {c^2}} \le \frac{{2{b^2} + {c^2} + 1}}{{2\sqrt 2 }} c\sqrt {1 + {a^2}} \le \frac{{2{c^2} + {a^2} + 1}}{{2\sqrt 2 }}.[/TEX]
​

+ Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên, ta được:

[TEX]a\sqrt {1 + {b^2}} + b\sqrt {1 + {c^2}} + c\sqrt {1 + {a^2}} \le \frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{2\sqrt 2 }} + \frac{3}{{2\sqrt 2 }} = \frac{9}{{2\sqrt 2 }} + \frac{3}{{2\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 .[/TEX]​

 

[quyenuy0241]

+ Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwazt, ta được:
.

[TEX]a\sqrt {1 + {b^2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {2{a^2}(1 + {b^2})} \le \frac{{2{a^2} + {b^2} + 1}}{{2\sqrt 2 }}][/TEX]
​

+ Tương tự, ta có:

[TEX]b\sqrt {1 + {c^2}} \le \frac{{2{b^2} + {c^2} + 1}}{{2\sqrt 2 }} c\sqrt {1 + {a^2}} \le \frac{{2{c^2} + {a^2} + 1}}{{2\sqrt 2 }}.[/TEX]
​

+ Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên, ta được:

[TEX]a\sqrt {1 + {b^2}} + b\sqrt {1 + {c^2}} + c\sqrt {1 + {a^2}} \le \frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{2\sqrt 2 }} + \frac{3}{{2\sqrt 2 }} = \frac{9}{{2\sqrt 2 }} + \frac{3}{{2\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 .[/TEX]​

Sao không xài luôn cái này?
[TEX](a\sqrt {1 + {b^2}} + b\sqrt {1 + {c^2}} + c\sqrt {1 + {a^2}})^2 \le (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2+3)[/tex]@@