Theo BĐT cauchy-shwarzs ta có: \[\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{36}{x+y+z} \\\Leftrightarrow 3\geq \frac{36}{x+y+z} \\\Leftrightarrow x+y+z\geq 12\]
Kết hợp với giả thiết
\[x+y+z\leq 12 \\\Rightarrow x+y+z=12\]
Dấu ''='' xảy ra \[\\\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} & \frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z} & \\ & x+y+z=12& \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x=2\\ & y=4\\ & z=6 \end{matrix}\right.\]