Toán 9

[Kasparov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng :[tex]\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq \frac{1}{2}[/tex] với a,b là các số dương

 

[trunghieule2807]

Ta có:
[tex]\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}=\frac{2(a+b)}{\sqrt{4a(3a+b)}+\sqrt{4b(3b+a)}}(1)[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:
[tex]\sqrt{4a(3a+b)}\leq \frac{4a+(3a+b)}{2}=\frac{7a+b}{2}(2)[/tex]
[tex]\sqrt{4b(3b+a)}\leq \frac{4b+(3b+a)}{2}=\frac{7b+a}{2}(3)[/tex]
Từ (2) và (3) suy ra: [tex]\sqrt{4a(3a+b)}+\sqrt{4b(3b+a)}\leq 4a+4b(4)[/tex]
Từ (1) và (4) suy ra:
[tex]\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq \frac{2(a+b)}{4a+4b}=\frac{1}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a=b