Toán toán 9

[Mục Phủ Mạn Tước]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định trên (O; R). Gọi M, N là các giao điểm của hai đường tròn (O; R) và (A; R). H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN của đường tròn (A; R). Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt (O; R) tại B, C. Kẻ HI vuông góc với AB tại I, HK vuông góc với AC tại K

a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và AB.AC=2[tex]R^{2}[/tex]

b) Tìm GTLN của diện tích tam giác AIK khi H thay đổi

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Áp dụng hệ thức lượng ta có:
$AI.AB=AK.AC=AH^2$.
Từ đó :IBCK là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{AIK}=\widehat{ACB}$.
Mà $\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}=90-\widehat{BAO}$.
Do đó $\widehat{AIK}+\widehat{BAO}=90^0$.
Hay IK vuông góc với OA.
Từ đó IK luôn vuông góc với OA cố định.
Gọi G là trung điểm của AC.
Ta có:OG sẽ vuông góc AC.
Dễ thấy tứ giác AIHK nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{AIH}=\widehat{IKH}=\widehat{OAK}$.
Từ đó $\triangle HAB \sim \triangle GAO \\\Rightarrow AB.AG=OA.AH=R^2 \\\Rightarrow AB.AC=2R^2$.
b)Ta có:$S_{AIK}=\dfrac{1}{2}.AD.HK=\dfrac{1}{4}.OA.IK \leq \dfrac{1}{4}.R.OA=\dfrac{R^2}{4}$.
Dấu '=' khi $IK=AO$ hay H trùng O.

P.s:Có thể chứng minh M,I,K,N thẳng hàng.