a) Có $\widehat{ANC} = \widehat{NBC} + \widehat{NCB} = \widehat{ACH} + \widehat{NCH} = \widehat{ACN}$ nên $\triangle{ACN}$ cân tại $A$, suy ra $AC = AN$. Tương tự $BM = BC$
b) Có $\widehat{MCN} = \widehat{MCH} + \widehat{NCH} = \dfrac{\widehat{ACH} + \widehat{BCH}}2 = \dfrac{\widehat{ACB}}2 = 45^\circ = \widehat{NHJ}$
Suy ra $CMJH$ nt hay $\widehat{CJM} = \widehat{CHM} = 90^\circ$ hay $MJ \perp CN$. Tương tự ta cũng có $NI \perp CM$, từ đó suy ra ba đường cao $MJ,NI,CH$ của $\triangle{CMN}$ đồng quy
d) Áp dụng bđt Cô-si và định lý Pytago ta có $$MN = AN + BM - AB = AC + BC - AB \leqslant \sqrt{2(AC^2+BC^2)} - AB = \sqrt{2AB^2} - AB = (\sqrt{2}-1)AB = 2(\sqrt{2}-1)R$$
Lại có $CH \leqslant CO = R$ nên $$S_{CMN} = \dfrac12 \cdot MN \cdot CH \leqslant \dfrac12 \cdot 2(\sqrt{2}-1)R \cdot R = (\sqrt{2}-1)R^2$$
Dấu '=' khi $C$ là điểm chính giữa cung $AB$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
