[Toán 9] Toán hình khó

[123conheo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn và O là điểm nằm trong tam giác. Các tia OA, OB, OC lần lượt cắt BC, AC, AB tại M,N,P.
CMR: $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ + $\frac{CP}{OP}$ \geq 9
:"( Các bạn giúp mình nhanh nhé

 

[trinhminh18]

chứng minh j bạn ơi; thiếu đề hay sao kìa xem lại giùm với

 

[123conheo]

chứng minh j bạn ơi; thiếu đề hay sao kìa xem lại giùm với

Mình đã sửa lại đề rồi Bạn đọc đề và giải giúp mình nha

 

[huynhbachkhoa23]

Mình lười làm hình thuần tùy nên dùng đôi chút đại số vào.

Theo hệ thức Van Aubel: $\dfrac{AM}{OM}+\dfrac{BN}{ON}+\dfrac{CP}{OP}= \dfrac{AP}{PB}+\dfrac{AN}{NC}+\dfrac{BP}{PA}+ \dfrac{BM}{MC}+\dfrac{CN}{NA}+\dfrac{CM}{MB}+3$
Áp dụng BDT AM-GM:
$\dfrac{AP}{PB}+\dfrac{AN}{NC}+ \dfrac{BP}{PA}+\dfrac{BM}{MC}+\dfrac{CN}{NA}+ \dfrac{CM}{MB}+3 \ge 6\sqrt[6]{\dfrac{AP.AN.BP.BM.CN.CM}{PB.NC.PA.MC.NA.MB}}+3=9$

Bài này chắc dùng diện tích được.

 

[123conheo]

Mình lười làm hình thuần tùy nên dùng đôi chút đại số vào.

Theo hệ thức Van Aubel: $\dfrac{AM}{OM}+\dfrac{BN}{ON}+\dfrac{CP}{OP}= \dfrac{AP}{PB}+\dfrac{AN}{NC}+\dfrac{BP}{PA}+ \dfrac{BM}{MC}+\dfrac{CN}{NA}+\dfrac{CM}{MB}+3$
Áp dụng BDT AM-GM:
$\dfrac{AP}{PB}+\dfrac{AN}{NC}+ \dfrac{BP}{PA}+\dfrac{BM}{MC}+\dfrac{CN}{NA}+ \dfrac{CM}{MB}+3 \ge 6\sqrt[6]{\dfrac{AP.AN.BP.BM.CN.CM}{PB.NC.PA.MC.NA.MB}}+3=9$

Bài này chắc dùng diện tích được.

Thực ra là vẫn chưa hiểu lắm hìhì. Hay cậu ghi hệ thức Van Aubel bằng lời hay bằng công thức tổng quát cho mình với. Với lại BDT AM - GM là gì ó cậu !?
- Hay là cậu giải cách khác nữa cho mình được không?

 

[huynhbachkhoa23]

Thực ra là vẫn chưa hiểu lắm hìhì. Hay cậu ghi hệ thức Van Aubel bằng lời hay bằng công thức tổng quát cho mình với. Với lại BDT AM - GM là gì ó cậu !?
- Hay là cậu giải cách khác nữa cho mình được không?

Dùng diện tích: $\dfrac{AM}{OM}=\dfrac{|\Delta ABC|}{|\Delta OBC|}$

Tương tự với 2 tỉ số còn lại.

Cộng lại được:
$$\dfrac{AM}{OM}+\dfrac{BN}{ON}+\dfrac{CP}{OP}= | \Delta ABC|.\left (\dfrac{1}{|\Delta OAB|}+\dfrac{1}{|\Delta OBC|}+\dfrac{1}{|\Delta OCA|} \right)\;\;(1)$$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: $\dfrac{1}{|\Delta OAB|}+\dfrac{1}{|\Delta OBC|}+\dfrac{1}{|\Delta OCA|} \ge \dfrac{9}{|\Delta OAB|+|\Delta OBC|+|\Delta OCA|}=\dfrac{9}{|\Delta ABC|} \;\;(2)$

Từ $(1), (2)$ ta có điều phải chứng minh.