[Toán 9]Toàn bộ về tứ giác nội tiếp

[zorrono1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Thầy mình giao 1 số bài về nội tiếp trong Tết này, các bạn giúp mình để ăn tết thoải mái tí

1/ Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên È. Chứng minh DE + DF = IK
2/ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đt(O). Gọi M là điểm bất kì trên cung BC. Vẽ MD vuông BC, ME vuông AC, MF vuông AB. Tìm vị trí M để EF lớn nhất
3/ Cho tam giác ABC nội tiếp đt(O;R) gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. H là tiếp điểm AB với (I). D là giao điểm AI (O), DK là đường kính của (O). Gọi d là độ dài OI. Chứng min
a) AHI đồng dạng KCD
b) DI = DB= DC
c) IA.ID=[TEX]R^2-d^2[/TEX]
d) [TEX]d^2=R^2=2Rr[/TEX]

Chúc mọi người năm mới luôn vui vẻ, học càng ngày càng giỏi nhé

 

[hermes_legend]

Xem ra 3 bài này không đơn giản:
1)
Ta CM được B,C là tâm các đường tròn bàng tiếp tam giác DEF. Theo tc của tiếp tuyến kẻ đến đường tròn, ta có:
2EI= P DEF ( P:chu vi)
2FK= P DEF ________

Từ đó
=> P DEF = EI+ FK
=> DE+ DF+ EF = (IF+EF)+FK
=> DE+DF= IK

 

[datvithaobang]

\[\Delta BIF\sim \Delta BEC\Rightarrow \frac{IF}{BF}= \frac{CE}{BC}\Rightarrow IF=\frac{BF*CE}{BC}\] tương tự:\[KF=\frac{BE*CF}{BC}\].Mặt khác\[\Delta BFD\sim \Delta BCA\Rightarrow \frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow DF=\frac{AC*BF}{BC}\], và\[DE=\frac{CE*AB}{BC}\]. Để chứng minh \[DF+DE=IK\Leftrightarrow DF+DE=IF+KF \], ta chứng minh\[\frac{AC*BF}{BC}+\frac{CE*AB}{BC}=\frac{BF*CE}{BC}+\frac{BE*CF}{BC}\]. Vì \[\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{AB},\frac{CE}{BC}=\frac{DC}{AC},\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB},\frac{BE}{BC}=AD:AC\]nên ta cần chứng minh:\[\frac{AC*BD}{AB}+\frac{AB*DC}{AC}=\frac{BD*DC*BC}{AB*AC}+\frac{AD^{2}*BC}{AB*AC}\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AD^{2}*BC\]. Thay \[AD^{2}=AC^{2}-DC^{2}\]\[\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AC^{2}*BC-DC^{2}*BC\Leftrightarrow AC^{2}*DC+BD*DC*BC-AB^{2}*DC-DC^{2}*BC=0.\Leftrightarrow AC^{2}+BD*BC-AB^{2}-DC*BC=0.\]. mà\[AC^{2}-AB^{2}=AD^{2}+DC^{2}-AD^{2}-BD^{2}=DC^{2}-BD^{2}\] nên ta cần CM \[DC^{2}-BD^{2}+BD*BC-DC*BC=0\Leftrightarrow \left ( DC-BD \right )\left ( DC+BD-BC \right )=0.\] điều này hiển nhiên đúng vì \[DC+BD=BC\] (ĐPCM), hơi dài, thông cảm nha!