[Toán 9] Tìm MIN $P=\frac{x}{\sqrt{1-x}} + \frac{y}{\sqrt{1-y}}$

B

bosjeunhan

cho x,y>0 va x+y=1
tim min P=x/can(1-x)+y/can(1-y)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Chú ý cách gõ latex cùng cách gõ tiếng Việt có dấu

RE:
Cho x,y>0 và x+y=1
Tìm MIN của
[TEX]P=\frac{x}{\sqrt[]{1-x}} + \frac{y}{\sqrt[]{1-y}}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

braga

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$ P=(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y})+(\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x})-(\sqrt{x}+\sqrt{x})\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})-(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\sqrt{x}+\sqrt{y} $$
$$ P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})-(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $$
Suy ra: $$ 2P\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge \frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge \frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2} $$
Suy ra: $$ P\ge \sqrt{2} $$
Vậy GTNN của P là $2\sqrt{2} $ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$ $\blacksquare$
 
Last edited by a moderator:
L

locxoaymgk

Ta có:
[TEX]\sqrt{1-x}.\sqrt{x} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{1-x} \leq \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow VT \geq 2x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}[/TEX]

Mặt khác theo BDT Bunhiacopxki ta có:

[TEX] (\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \geq (x+y)^2=1.[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x\sqrt{x}+y\sqrt{y} \geq \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \geq \frac{1}{\sqrt{2(x+y)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \geq 2.\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}[/TEX]

Dấu= xảy ra \Leftrightarrow[TEX] x=y=1/2.[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom