[Toán 9] Tìm cực trị

[s_m_i_l_e]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z thỏa mãn :
$\dfrac{8-x^{4}}{16+x^{4}} + \dfrac{8-y^{4}}{16+y^{4}}+\dfrac{8-z^{4}}{16+z^{4}}\geq 0$
Tìm Min, Max của P=xyz
Cảm ơn

 

[forum_]

Biểu thức đã cho đc biến đổi thành:

$\dfrac{8-x^4}{16+x^4}+\dfrac{8-y^4}{16+y^4}+\dfrac{8-z^4}{16+z^4}$ \geq $\dfrac{1}{8}$ \Leftrightarrow $\dfrac{1}{16+x^4}+\dfrac{1}{16+y^4}+\dfrac{1}{16+z^4}$ \geq $\dfrac{1}{8}$

Từ đó suy ra:

$\dfrac{1}{16+x^4}$ \geq $\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{16+y^4}+\dfrac{1}{16+z^4}$

$= \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{16+y^4} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{16+z^4}$

=$\dfrac{y^4}{16(16+y^4)} + \dfrac{z^4}{16(16+z^4)}$

Theo AM-GM:

$\dfrac{y^4}{16(16+y^4)} + \dfrac{z^4}{16(16+z^4)}$ \geq $\dfrac{y^2z^2}{8\sqrt[]{(16+y^4)(16+z^4)}}$ (1)

Tương tự rồi nhân các bđt lại với nhau ta đc:

$\dfrac{1}{(16+x^4)(16+y^4)(16+z^4)}$ \geq $\dfrac{(xyz)^4}{8^3(16+x^4)(16+y^4)(16+z^4)}$

\Leftrightarrow $-4\sqrt[4]{2}$ \leq xyz \leq $4\sqrt[4]{2}$

-Với $ xyz = -4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= -\sqrt[4]{8}$

-Với $ xyz = 4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= \sqrt[4]{8}$

Vậy GTLN của $xyz = 4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= \sqrt[4]{8}$

GTNN của $xyz = -4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= -\sqrt[4]{8}$