Biểu thức đã cho đc biến đổi thành:
$\dfrac{8-x^4}{16+x^4}+\dfrac{8-y^4}{16+y^4}+\dfrac{8-z^4}{16+z^4}$ \geq $\dfrac{1}{8}$ \Leftrightarrow $\dfrac{1}{16+x^4}+\dfrac{1}{16+y^4}+\dfrac{1}{16+z^4}$ \geq $\dfrac{1}{8}$
Từ đó suy ra:
$\dfrac{1}{16+x^4}$ \geq $\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{16+y^4}+\dfrac{1}{16+z^4}$
$= \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{16+y^4} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{16+z^4}$
=$\dfrac{y^4}{16(16+y^4)} + \dfrac{z^4}{16(16+z^4)}$
Theo AM-GM:
$\dfrac{y^4}{16(16+y^4)} + \dfrac{z^4}{16(16+z^4)}$ \geq $\dfrac{y^2z^2}{8\sqrt[]{(16+y^4)(16+z^4)}}$ (1)
Tương tự rồi nhân các bđt lại với nhau ta đc:
$\dfrac{1}{(16+x^4)(16+y^4)(16+z^4)}$ \geq $\dfrac{(xyz)^4}{8^3(16+x^4)(16+y^4)(16+z^4)}$
\Leftrightarrow $-4\sqrt[4]{2}$ \leq xyz \leq $4\sqrt[4]{2}$
-Với $ xyz = -4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= -\sqrt[4]{8}$
-Với $ xyz = 4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= \sqrt[4]{8}$
Vậy GTLN của $xyz = 4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= \sqrt[4]{8}$
GTNN của $xyz = -4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= -\sqrt[4]{8}$