[toán 9] thi học sinh giỏi

[howare]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại A và B cắt nhau tại D. Đường thẳng DC cắt đường tròn (O) tại điểm E. Đường thẳng DO cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh rằng:
a, Tứ giác OMEC nội tiếp đường tròn
b, Góc CMA = Góc EMA
c, $ (\frac{MB}{MC})^{2} $ = $ \frac{DE}{DC} $

 

[tyn_nguyket]

câu a,b

a, ta có : tam giác DCB đồng dạng tam giác DBE
\Rightarrow [TEX]\frac{DC}{DB} = \frac{DB}{DE}[/TEX] \Rightarrow [TEX] DC.DE = DB^2[/TEX] (1)
Lại có: BM vuông DO
tam giác DOB có [tex] \widehat{DBO} = 90^o [/tex] và BM vuông DO
\Rightarrow BM là đường cao của tam giác \Rightarrow DM.DO = [TEX] DB^2[/TEX] (hệ thức lượng trong tam giác) (2)
Từ (1),(2) \Rightarrow DM.DO = DE.DC
\Rightarrow [TEX] \frac{DM}{DC} = \frac{DE}{DO}[/TEX]
mặt khác tam giác DME đồng dạng tam giác DCO
\Rightarrow [TEX] \widehat{DME}= \widehat{DCO} [/TEX]
Mà [tex]\widehat{DME} + \widehat{EMO} = 180^o \Rightarrow \widehat{DCO} + \widehat{EMO} = 180^o[/tex]
\Rightarrow EMOC nt
b, Vì EMOC nt \Rightarrow [TEX] \widehat{DME} = \widehat{OCE}[/TEX] (cùng bù [TEX] \widehat{EMC}[/TEX])
Mà [TEX] \widehat{OCE} = \widehat{OEC}[/TEX] (tam giác OEC cân)
\Rightarrow [tex] \widehat{DME} = \widehat{OEC}[/tex]
Lại có [tex]\{OEC} = \{OMC}[/tex] (cùng chắn cung OC)
\Rightarrow[TEX] \widehat{DME} = \widehat{OMC}[/TEX] \Rightarrow [TEX] \widehat{EMA} = \widehat{CMA}[/TEX]