Toán [toán 9] phương trình nghiệm nguyên

[howare]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn:
$ \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}} + \frac{2}{z^{2}} = 1 $

 

[iceghost]

pt $\iff \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{2}{z^2} = 1$
Dễ thấy với $x = 1$ hoặc $y=1$ hoặc $z=1$ thì k thỏa mãn điều kiện
Giả sử $1 < x \le y \le z$
$\implies 1 = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{2}{z^2} \le \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{4}{x^2}$
$\implies x^2 \le 4 \implies x \le 2 \implies x = 2$ (do $x>1$ và x nguyên)
pt $\iff \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{2}{z^2} = 1 \\
\iff \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{2}{z^2} = \dfrac{3}{4}$
Mà $1 < x \le y \le z$
$\implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{2}{z^2} \le \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{2}{y^2} = \dfrac{3}{y^2}$
$\implies y^2 \le 4 \implies y \le 2 \implies y = 2$ (do $y>1$ và y nguyên)
pt $\iff \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{2}{z^2} = \dfrac{3}{4} \\
\iff \dfrac{2}{z^2} = \dfrac{2}{4} \\
\iff z = 2$
Vậy $x = y = z = 2$