[Toán 9] Phương Trình Nghiệm Nguyên

B

bboy114crew

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[FONT=&quot]Tó lập topic này mọi người cùng trao đổi về phương trình nghiệm nguyên mong mọi người nhiệt tình tham gia và hưởng ứng ;)
[/FONT]
[FONT=&quot]
[/FONT]
[FONT=&quot]Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích[/FONT][FONT=&quot][/FONT]
[FONT=&quot]Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.[/FONT][FONT=&quot][/FONT]
[FONT=&quot]Thí dụ 1 :[/FONT][FONT=&quot] Tìm nghiệm nguyên của phương trình : [/FONT]
[FONT=&quot]y3 - x3 = 91 (1)[/FONT]​
[FONT=&quot]Lời giải :[/FONT][FONT=&quot] (1) tương đương vớiÛ (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*)
Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0.
Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau : [/FONT]
[FONT=&quot]y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I) [/FONT]
[FONT=&quot]y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II) [/FONT]
[FONT=&quot]y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III) [/FONT]
[FONT=&quot]y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV)
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết. [/FONT]
[FONT=&quot]Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn[/FONT][FONT=&quot]
Nếu các ẩn x, y, z, ... có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ... để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho.[/FONT][FONT=&quot] [/FONT]
[FONT=&quot]Thí dụ 2 :[/FONT][FONT=&quot] Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : [/FONT]
[FONT=&quot]x + y + z = xyz (2). [/FONT]​
[FONT=&quot]Lời giải :[/FONT][FONT=&quot]
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. [/FONT]
[FONT=&quot]Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3). [/FONT]
[FONT=&quot]Thí dụ 3 :[/FONT][FONT=&quot] Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : [/FONT]
[FONT=&quot]1/x + 1/y + 1/z = 2 (3) [/FONT]​
[FONT=&quot]Lời giải :[/FONT][FONT=&quot] Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có :
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1. [/FONT]
[FONT=&quot]Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2
=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)
hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. [/FONT]
[FONT=&quot]Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2). [/FONT]
[FONT=&quot]Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết[/FONT][FONT=&quot] [/FONT]
[FONT=&quot]Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình.[/FONT][FONT=&quot] [/FONT]
[FONT=&quot]Thí dụ 4 :[/FONT][FONT=&quot] Tìm nghiệm nguyên của phương trình : [/FONT]
[FONT=&quot]x2 - 2y2 = 5 (4) [/FONT]​
[FONT=&quot]Lời giải :[/FONT][FONT=&quot] Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được :
4k2 +4k + 1 - 2y2 = 5
tương đươngÛ 2(k2 + k - 1) = y2
=> y2 là số chẵn => y là số chẵn. [/FONT]
[FONT=&quot]Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :
2(k2 + k - 1) = 4t2
Ûtương đương k(k + 1) = 2t2 + 1 (**) [/FONT]
[FONT=&quot]Nhận xét :[/FONT][FONT=&quot] k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm. [/FONT]
[FONT=&quot]Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên. [/FONT]
[FONT=&quot]Thí dụ 5 :[/FONT][FONT=&quot] Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn : [/FONT]
[FONT=&quot]x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5)[/FONT]​
[FONT=&quot]Lời giải :[/FONT][FONT=&quot] Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x3 - x chia hết cho 3. [/FONT]
[FONT=&quot]Tương tự y3 - y và z3 - z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho 3. [/FONT]
[FONT=&quot]Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên. [/FONT]
[FONT=&quot]Thí dụ 6 :[/FONT][FONT=&quot] Tìm nghiệm nguyên của phương trình : [/FONT]
[FONT=&quot]xy + x - 2y = 3 (6)[/FONT]​
[FONT=&quot]Lời giải :[/FONT][FONT=&quot] Ta có (6) Ûtương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với:
y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2). [/FONT]
[FONT=&quot]Ta thấy : y là số nguyên tương đương vớiÛ x - 2 là ước của 1 hayÛ x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với Û x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0). [/FONT]
[FONT=&quot]Chú ý :[/FONT][FONT=&quot] Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đươngÛ (x - 2)(y + 1) = 1. [/FONT]
[FONT=&quot]Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức[/FONT][FONT=&quot] [/FONT]
[FONT=&quot]Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này.[/FONT][FONT=&quot] [/FONT]
[FONT=&quot]Thí dụ 7 :[/FONT][FONT=&quot] Tìm nghiệm nguyên của phương trình : [/FONT]
[FONT=&quot]x2 - xy + y2 = 3 (7) [/FONT]​
[FONT=&quot]Lời giải : [/FONT][FONT=&quot]
(7) tương đương với (x - y/2)2 = 3 - 3y2/4
Vì (x - y/2)2 ≥ 0 => 3 - 4y2/4 ≥ 0
=> -2 ≤ y ≤ 2 . [/FONT]
[FONT=&quot]Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.[/FONT]
[FONT=&quot]Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác. Mong các bạn tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Các bạn cũng thử giải một số phương trình nghiệm nguyên sau đây : [/FONT]
[FONT=&quot]Bài 1 :[/FONT][FONT=&quot] Giải các phương trình nghiệm nguyên :[/FONT]
[FONT=&quot]a) x2 - 4 xy = 23 ; [/FONT]
[FONT=&quot]b) 3x - 3y + 2 = 0 ; [/FONT]
[FONT=&quot]c) 19x2 + 28y2 =729 ; [/FONT]
[FONT=&quot]d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96. [/FONT]
[FONT=&quot]Bài 2 :[/FONT][FONT=&quot] Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : [/FONT]
[FONT=&quot]a) 4xy - 3(x + y) = 59 ; [/FONT]
[FONT=&quot]b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; [/FONT]
[FONT=&quot]c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ; [/FONT]
[FONT=&quot]d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.[/FONT]
Một vài bài toan hay về ptnn mời mọi người cung giải;

Bài 1 : tìm nghiệm nguyên của pt:
1) 3(x^2 xy + y^2) = x + 8y
2) x^2 - 1 = y + y^2 + y^3 + y^4
Bài 2: tìm nghiệm nguyên dương của pt:
1) xyz - x - y - z = 5
2)2(y + z ) = x(yz - 1)
3)xy/z + yz/x + xz/y = 3
4) x^2 + y^2 + z^2 + xyz = 20
Bài 3 :CMR các pt sau không có nghiệm nguyên:
3(x^5) - x^3 + 6(x^2) -18x = 2001
 
Last edited by a moderator:
D

dragonknight_death

Bài viết hay đấy nhưng một số chỗ chưa ổn lắm đâu. Thu nhất panj đẫ spam rùi. Thứ hai là bạn đưa ra mấy bài ấy để doạ trẻ con hả.
 
L

linh_cg_97

theo yêu cầu

mình cũng đọc qua nghiệm nguyên rồi ,bài của bạn cũng tương đối chi tiêt đấy
 
T

trungbobo

Bạn có thể giúp mình giải bài này được không ạ

nhìn thì rât đơn giản nhưng mình tính mãi ko ra

(4/x)+(2/y)=1
 
T

thinhtn231998

không làm được

tìm nghiệm nguyên của phương trình X!+Y!+Z!=T! làm hộ mình với
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom