Toán Toán 9 Nâng cao

[Ray Kevin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn ! Hôm nay mình xin đưa ra 1 số bài toán nâng cao lớp 9 chuẩn bị cho kì thi THPT sắp tới !! Các bài toán có các cấp độ từ dễ tới khó , vì vậy các bạn có thể làm và đánh giá lại khả năng của mình !!
Bài 1: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=2$. Chứng minh rằng : [TEX](x^2+y^2)x^2y^2 \leq 2[/TEX]
Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $21ab+2bc+8ac \leq 12$. Tìm min của [TEX] P=\frac 1 a + \frac 2 b +\frac 3 c [/TEX]
Bài 3: Giải PT: [TEX]\sqrt {x^2-\frac 1 4 + \sqrt {x^2+x+\frac 1 4 }} = \frac 1 2 (2x^3+x^2+2x+1)[/TEX]
Bài 4: CMR với mọi số thực x ta luôn có: [TEX](2x+1)\sqrt {x^2-x+1} > (2x-1)\sqrt {x^2+x+1}[/TEX]
Bài 5: Cho $x^2+2y^2+xy=1$. Tìm max và min của [TEX]A=x-2y+3[/TEX]

 

[Phương Trang]

Chào các bạn ! Hôm nay mình xin đưa ra 1 số bài toán nâng cao lớp 9 chuẩn bị cho kì thi THPT sắp tới !! Các bài toán có các cấp độ từ dễ tới khó , vì vậy các bạn có thể làm và đánh giá lại khả năng của mình !!
Bài 1: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=2$. Chứng minh rằng : [TEX](x^2+y^2)x^2y^2 \leq 2[/TEX]
Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $21ab+2bc+8ac \leq 12$. Tìm min của [TEX] P=\frac 1 a + \frac 2 b +\frac 3 c [/TEX]
Bài 3: Giải PT: [TEX]\sqrt {x^2-\frac 1 4 + \sqrt {x^2+x+\frac 1 4 }} = \frac 1 2 (2x^3+x^2+2x+1)[/TEX]
Bài 4: CMR với mọi số thực x ta luôn có: [TEX](2x+1)\sqrt {x^2-x+1} > (2x-1)\sqrt {x^2+x+1}[/TEX]
Bài 5: Cho $x^2+2y^2+xy=1$. Tìm max và min của [TEX]A=x-2y+3[/TEX]

trả lời song bạn sẽ chấm à ?

 

[Ray Kevin]

trả lời song bạn sẽ chấm à ?

Mình đưa đáp án lên á bạn =))

 

[trunghieule2807]

Bài 1: Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=2. Chứng minh rằng :

Ta có: [tex]x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 2\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow \sqrt{xy}\leq 1\Rightarrow xy\leq 1\Rightarrow x^{2}y^{2}\leq 1[/tex]
Lại có:
[tex](x+y)^{2}=4\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy\leq 4-2=2[/tex][tex](xy\leq 1)[/tex]
[tex]\Rightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}y^{2})\leq 2\times 1=2[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 1:
$(x^2+y^2)x^2y^2\leq 2\Leftrightarrow x^2y^2\leq \dfrac{2}{x^2+y^2}=\dfrac{4}{2(x^2+y^2)}\leq \dfrac{4}{(x+y)^2}=1$ (luôn đúng vì $x^2y^2\leq \dfrac{(x+y)^4}{16}=1$)
P/s: làm bừa ^^

 

[maloimi456]

Ta có: [tex]x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 2\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow \sqrt{xy}\leq 1\Rightarrow xy\leq 1\Rightarrow x^{2}y^{2}\leq 1[/tex]
Lại có:
[tex](x+y)^{2}=4\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy\leq 4-2=2[/tex][tex](xy\leq 1)[/tex]
[tex]\Rightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}y^{2})\leq 2\times 1=2[/tex]

Sai bạn nhé. Từ
[tex]xy\leq 1\Rightarrow -xy\geq -1\Rightarrow 4-2xy\geq 4-2=2[/tex]

 

[Phương Trang]

B1: [tex]A= (x^{2}+y^{2})x^{2}y^{2} = \frac{1}{2}2xy(x^{2}+y^{2})xy[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}[/tex]
Ta có : [tex]A\leq \frac{1}{2}.\frac{((x+y)^{2})^{2}}{4} . \frac{(x+y)^{2}}{4}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}.\frac{16}{4}.1 = 2[/tex]

Bài 2:
đặt [tex](a;b;c) -> (\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z})[/tex]. Khi đó điều kiện bài toán là [tex]2x+8y+21z \leq 12xyz[/tex]
[tex]2x+8y+21z \leq 12xyz => 3x\geq \frac{2x+8y}{4xy-7}[/tex]
=> [tex]P \geq X+2Y+\frac{2x+8y}{4xy - 7}[/tex]
= [tex]x+\frac{11}{2x} + \frac{1}{2x} [(4xy-7 )+\frac{4x^{2}+28}{4xy-7}][/tex]
[tex]\geq x+\frac{11}{2x} +\frac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28}[/tex]
= [tex]x+\frac{11}{2x} + \frac{3}{2}\sqrt{(1+\frac{7}{9})(1+\frac{7}{x^{2}})}[/tex]
[tex]\geq x+\frac{11}{2x} + \frac{3}{2}(1+\frac{7}{3x})[/tex]
= [tex]x+\frac{9}{x}+\frac{3}{2}\geq 6+\frac{3}{2} = \frac{15}{2}[/tex]

 

[trunghieule2807]

Bài 3: Giải PT:

 

[Phương Trang]

Bài 4: CMR với mọi số thực x ta luôn có: [TEX](2x+1)\sqrt {x^2-x+1} > (2x-1)\sqrt {x^2+x+1}[/TEX]

TH1: [tex](2x+1)\geq 0[/tex] và [tex]2x-1\leq 0[/tex] ( BĐT hiển nhiên đúng )
TH2 : [tex](2x-1) > 0=> 2x+1>0,x>\frac{1}{2}[/tex]
<=> [tex](2x+1)^{2}(x^{2}-x+1) >(2x-1)^{2}(x^{2}+x+1)[/tex]
[tex]<=> (x^{2}-x+1)[(2x+1)^{2}-(2x-1)^{2}]>(2x-1)^{2}.2x[/tex]
[tex]<=> (x^{2}+x-1)8x>(2x-1)^{2}2x[/tex]
[tex]<=> 4(x^{2}-x+1)>4x^{2}-4x+1[/tex] ( do x dương)
[tex]<=> 4>1[/tex] (luôn đúng)
TH3 : [tex](2x+1)<0<=>x<0[/tex]
[tex](2x+1)^{2}(x^{2}-x+1) < (2x-1)^{2}(x^{2}+x+1)[/tex]
<=> [tex](x^{2}-x+1)[(2x+1)^{2}-(2x-1)^{2}]< ( 2x-1)^{2}2x[/tex]
[tex]<=> (x^{2}-x+1)8x<(2x-1)^{2}2x[/tex]
[tex]<=> 4(x^{2}-x+1)>4x^{2}-4x +1[/tex] ( do x âm)
<=> 4>1 ( luôn đúng)
@sieuquay127

 

[Ray Kevin]

Lại có:

Bạn ngược dấu rồi ^^
- Các bạn giải rất tốt , có những cách còn hay hơn cả đáp án giúp mình mở mang tầm mắt nữa

 

[Ray Kevin]

TH1: [tex](2x+1)\geq 0[/tex] và [tex]2x-1\leq 0[/tex] ( BĐT hiển nhiên đúng )
TH2 : [tex](2x-1) > 0=> 2x+1>0,x>0[/tex]
<=> [tex](2x+1)^{2}(x^{2}-x+1) >(2x-1)^{2}(x^{2}+x+1)[/tex]
[tex]<=> (x^{2}-x+1)[(2x+1)^{2}-(2x-1)^{2}]>(2x-1)^{2}.2x[/tex]
[tex]<=> (x^{2}+x-1)8x>(2x-1)^{2}2x[/tex]
[tex]<=> 4(x^{2}-x+1)>4x^{2}-4x+1[/tex] ( do x dương)
[tex]<=> 4>1[/tex] (luôn đúng)
TH3 : [tex](2x+1)<0<=>x<0[/tex]
[tex](2x+1)^{2}(x^{2}-x+1) < (2x-1)^{2}(x^{2}+x+1)[/tex]
<=> [tex](x^{2}-x+1)[(2x+1)^{2}-(2x-1)^{2}]< ( 2x-1)^{2}2x[/tex]
[tex]<=> (x^{2}-x+1)8x<(2x-1)^{2}2x[/tex]
[tex]<=> 4(x^{2}-x+1)>4x^{2}-4x +1[/tex] ( do x âm)
<=> 4>1 ( luôn đúng)
@sieuquay127

TH2 và TH3 lúc mà xét 2x-1 < 0 thì x > 1/2 tương tự TH3 là x < - 1/2

 

[Phương Trang]

TH2 và TH3 lúc mà xét 2x-1 < 0 thì x > 1/2 tương tự TH3 là x < - 1/2

có vấn đề gì sao bạn ?

 

[Ray Kevin]

có vấn đề gì sao bạn ?

Cũng ok nhưng nên ghi là [TEX]x \geq \frac 1 2[/TEX] thay vì x>0

 

[Phương Trang]

Cũng ok nhưng nên ghi là [TEX]x \geq \frac 1 2[/TEX] thay vì x>0

ừ mình sửa lại rồi