[Toán 9] Liên hệ giữa phép chia và p.khai phương

[nhatvy2606]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng, với a > b > 0 thì

[TEX]\sqrt{a}[/TEX] - [TEX]\sqrt{b}[/TEX] < [TEX]\sqrt{a - b}[/TEX].
Chú ý là giải bằng 3 cách.
Mình sẽ cảm ơn đầy đủ.

 

[hn3]

Anh có 3 cách nầy :

Cách 1 : Tương đương :

[TEX]\sqrt{a}-\sqrt{b} < \sqrt{a-b}[/TEX]

[TEX]<=> \ \sqrt{a} < \sqrt{a-b}+\sqrt{b}[/TEX]

[TEX]=> \ a < a-b+b+2\sqrt{b(a-b)}[/TEX]

[TEX]<=> \ 2\sqrt{b(a-b)} >0[/TEX]

Đúng do [TEX]a-b>0;b>0[/TEX] .


Cách 2 : Phản chứng :

Giả thiết [TEX]\sqrt{a}-\sqrt{b} \geq \sqrt{a-b}[/TEX]

[TEX]<=> \ \sqrt{a} \geq \sqrt{a-b}+\sqrt{b}[/TEX]

[TEX]=> \ a \geq a-b+b+2\sqrt{b(a-b)}[/TEX]

[TEX]<=> \ 2\sqrt{b(a-b)} \leq 0[/TEX]

Vô lí .


Cách 3 : Liên hợp :

[TEX]\sqrt{a}-\sqrt{b} < \sqrt{a-b}[/TEX]

[TEX]<=> \ \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} < \sqrt{a-b}[/TEX]

[TEX]<=> \ \sqrt{a-b}(\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-1) <0[/TEX]

Do [TEX]a>b[/TEX] nên [TEX]\sqrt{a-b} >0[/TEX] .

Ta chứng minh [TEX]\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-1 <0[/TEX]

[TEX]<=> \ \sqrt{a+b}-\sqrt{a}-\sqrt{b} <0[/TEX] (do [TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b} >0[/TEX])

[TEX]<=> \ \sqrt{a+b} <\sqrt{a}+\sqrt{b}[/TEX]

[TEX]=> \ a+b < a+b+2\sqrt{ab}[/TEX]

[TEX]<=> \ 2\sqrt{ab} >0[/TEX]

Đúng do [TEX]a>b>0[/TEX] .