Không mất tính tổng quát, giả sử ta có hình vẽ như trên
Gọi $h$ và $h'$ lần lượt là khoảng cách của $A$ và $B'$ đến $BC$
Theo định lý Ta-lét ta có $$\dfrac{S_{A'B'C}}{S_{ABC}} = \dfrac{\dfrac12 \cdot h' \cdot A'C}{\dfrac12 \cdot h \cdot BC} = \dfrac{h'}h \cdot \dfrac{A'C}{BC} = \dfrac{B'C}{AC} \cdot \dfrac{A'C}{BC}$$
Tương tự : $\dfrac{S_{B'CC'}}{S_{ABC}} = \dfrac{AC'}{AB} \cdot \dfrac{B'C}{AC}$ và $\dfrac{S_{A'CC'}}{S_{ABC}} = \dfrac{BC'}{BA} \cdot \dfrac{CA'}{CB}$
Cộng lại và áp dụng định lý Ta-lét ta có $$\dfrac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = \dfrac{B'C}{AC} \cdot \dfrac{A'C}{BC} + \dfrac{AC'}{AB} \cdot \dfrac{B'C}{AC} + \dfrac{BC'}{BA} \cdot \dfrac{CA'}{CB} \\
= \dfrac{BC}{A'C} \cdot \dfrac{A'C}{BC} + \dfrac{A'C}{A'B} \cdot \dfrac{BC}{A'C} + \dfrac{BC}{BA'} \cdot \dfrac{CA'}{CB} \\
= 1 + \dfrac{BC}{A'B} + \dfrac{CA'}{BA'} \\
= 2$$
Suy ra $S_{A'B'C'} = 2S_{ABC}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
