Toán [Toán 9] Hình học

[candyhappydn16]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 3: Cho [tex]\bigtriangleup ABC[/tex] vuông tại A có AD là phân giác của A. C/m: [tex]\frac{\sqrt{2}}{AD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}[/tex][/QUOTE]

 

[iceghost]

Kẻ $DE, DF$ lần lượt vuông góc $AB, AC$
Áp dụng định lý Thales trong $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$ với $DE // AC, DF // AB$
ta được : $\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{DF}{AB} = \dfrac{CD}{CB} \\
\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{BD}{BC} \\
\end{array} \right.
\implies \dfrac{DF}{AB} + \dfrac{DE}{AC} = \dfrac{CD + BD}{BC} = \dfrac{BD}{BD} = 1$
Kết hợp $DF = DE$ (Dễ CM $AEDF$ là hình vuông)
$\implies \dfrac1{AB} + \dfrac1{AC} = \dfrac1{DE} = \dfrac1{DF}$
Lại có $DE = DF=\dfrac{AD}{\sqrt2}$ (Dễ dàng CM bằng Pytago)
$\implies$ đpcm

 

[Trung Lê Tuấn Anh]

kẻ hình chiếu của D cắt AB;AC tại E và F
vì AD là phân giác nên tứ giác AEDF là hình vuông [tex]\Rightarrow[/tex] AE=AF=\frac{AD}{\sqrt{2}}
ta có :
[tex]AD^{2}=AE\times AB\Rightarrow \frac{AE}{AD^{2}}=\frac{1}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2AD}=\frac{1}{AB}[/tex]
tương tự ta có: [tex]\frac{\sqrt{2}}{2AD}=\frac{1}{AC}[/tex]
cộng vế với vế
[tex]\Rightarrow \frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}[/tex]

 

[candyhappydn16]

kẻ hình chiếu của D cắt AB;AC tại E và F
vì AD là phân giác nên tứ giác AEDF là hình vuông [tex]\Rightarrow[/tex] AE=AF=\frac{AD}{\sqrt{2}}
ta có :
[tex]AD^{2}=AE\times AB\Rightarrow \frac{AE}{AD^{2}}=\frac{1}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2AD}=\frac{1}{AB}[/tex]
tương tự ta có: [tex]\frac{\sqrt{2}}{2AD}=\frac{1}{AC}[/tex]
cộng vế với vế
[tex]\Rightarrow \frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}[/tex]

tại sao [tex]\frac{AE}{AD^{2}}=\frac{1}{AB}\Rightarrow [tex][/tex][/tex]

 

[candyhappydn16]

kẻ hình chiếu của D cắt AB;AC tại E và F
vì AD là phân giác nên tứ giác AEDF là hình vuông [tex]\Rightarrow[/tex] AE=AF=\frac{AD}{\sqrt{2}}
ta có :
[tex]AD^{2}=AE\times AB\Rightarrow \frac{AE}{AD^{2}}=\frac{1}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2AD}=\frac{1}{AB}[/tex]
tương tự ta có: [tex]\frac{\sqrt{2}}{2AD}=\frac{1}{AC}[/tex]
cộng vế với vế
[tex]\Rightarrow \frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}[/tex]

tại sao
[tex]\Rightarrow \frac{AE}{AD^{2}}=\frac{1}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2AD}=\frac{1}{AB}[/tex]

 

[candyhappydn16]

View attachment 4002
Kẻ $DE, DF$ lần lượt vuông góc $AB, AC$
Áp dụng định lý Thales trong $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$ với $DE // AC, DF // AB$
ta được : $\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{DF}{AB} = \dfrac{CD}{CB} \\
\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{BD}{BC} \\
\end{array} \right.
\implies \dfrac{DF}{AB} + \dfrac{DE}{AC} = \dfrac{CD + BD}{BC} = \dfrac{BD}{BD} = 1$
Kết hợp $DF = DE$ (Dễ CM $AEDF$ là hình vuông)
$\implies \dfrac1{AB} + \dfrac1{AC} = \dfrac1{DE} = \dfrac1{DF}$
Lại có $DE = DF=\dfrac{AD}{\sqrt2}$ (Dễ dàng CM bằng Pytago)
$\implies$ đpcm

giải thích cặn kẽ hơn giúp mk dc k

 

[Trung Lê Tuấn Anh]

[tex]AD^{2}=AB\times AE\Rightarrow \frac{1}{AD^{2}}=\frac{1}{AB\times AE}\Rightarrow \frac{AE}{AD^{2}}=\frac{1}{AB}[/tex]

 

[Trung Lê Tuấn Anh]

[tex]AE=AF=\frac{AD}{\sqrt{2}}[/tex]
định lí pytago

 

[candyhappydn16]

[tex]AE=AF=\frac{AD}{\sqrt{2}}[/tex]
định lí pytago

trong tam giác nào. mk vẫn k hiểu lắm. bạn có thể ns cụ thể dc k

 

[Trung Lê Tuấn Anh]

AEDF là hình vuông
xét tam giác vuông cân AED

 

[candyhappydn16]

AEDF là hình vuông
xét tam giác vuông cân AED

bạn có thể ghi rõ cách lm dc k

 

[Trung Lê Tuấn Anh]

xét tam giác ADE vuông tại E có
[tex]AD^{2}=AE^{2}+ED^{2}[/tex] (định lí pytago)
mà AE=ED (tam giác ADE vuông cân)
[tex]\Rightarrow AD^{2}=2AE^{2}\Rightarrow AE=\frac{AD}{\sqrt{2}}[/tex]

 

[manh550]

[tex]a^2+b^2 \geq a+b- \frac{1}{2} [/tex]
<=>[tex] a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}\geq 0 [/tex]
<=> [tex](a-\frac{1}{2})^2 + (b-\frac{1}{2})^2 \geq 0 [/tex](luôn đúng)

[tex]a^2+b^2 \geq a+b- \frac{1}{2} [/tex]
<=>[tex] a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}\geq 0 [/tex]
<=> [tex](a-\frac{1}{2})^2 + (b-\frac{1}{2})^2 \geq 0 [/tex](luôn đúng)

Lưu ý : Không SPAM nha bạn :| .