[ Toán 9] Đề thi học sinh giỏi TP Cần Thơ 2013-2014

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho phân thức P=$\frac{n^3+2.n^2-1}{n^3+2.n^2+2.n+1}$ ( n thuộc Z n#1)
a) Rút gọn P
b) C/m P là p/s tối giản.
2)a)Giải phương trình $\sqrt{2.x-3}$-$\sqrt{x}$=2.x-6
b) C/m x=$\sqrt[3]{9+4.\sqrt{5}}$+$\sqrt[3]{9-4.\sqrt{5}}$ là nghiệm của pt $x^3$-3.x-18=0 và từ đó tính giá trị x ở dạng thập phân.
3) Tìm nghiệm nguyên của pt
$3.x^2+4.y^2+6.x+3.y-4$=0
4)Cho tam giác ABC,M là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt các cạnh BC,AC,AB tại $A_1$,$B_1$,$C_1$. Xác định vị trí của điểm M để biểu thức $\frac{A_1M}{AM}$+$\frac{B_1M}{BM}$+$\frac{C_1M}{CM}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
5) Cho tam giác ABC,M là điểm nàm trong tam giác ABC. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH,BC. Hai đường phân giác của các góc $\hat{ABD}$,$\hat{ACE}$ cắt nhau tại K.

a) Chứng minh KE=KD

b) chứng minh ba điểm M,N,K thẳng hàng.

 

[baochauhn1999]

Câu 2a:
$\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6$
$ĐKXĐ$: $x$\geq$1,5$
Đặt: $\sqrt{2x-3}=a;\sqrt{x}=b$ với: $a$\geq$0;$ $b$>$0$ ta có:
$a^2-2b^2=-3$ $(1)$
Và: $a-b=2(a^2-b^2)$ $(2)$
Đến đây là dễ rùi $................................$

 

[baochauhn1999]

Câu 2b:
$x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$
$=>x^3=18+3x\sqrt[3]{(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})}=18+3x$
$<=>x^3-3x-18=0$
$đpcm$
Lại có:
$x^3-3x-18=0$
$<=>(x-3)(x^2+3x-6)=0$
Xét: $x^2+3x-6=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}$>$0$
Nên: $x=3$

 

[nhuquynhdat]

3, Chém bừa, sai thì thôi )

$3x^2+4y^2+6x+3y-4=0$

$\leftrightarrow 3(x^2+x+1)+4(y^2+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{9}{6})= \dfrac{37}{4}$

$\leftrightarrow 3(x+1)^2+4(y+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{37}{4}=37. \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}.37= \dfrac{37}{2}.\dfrac{37}{2}$

Xét từng TH là ra

 

[baochauhn1999]

Câu 1a:
$P=\frac{n^3+2n^2-1}{n^3+2n^2+2n+1}$
ĐKXĐ: $x\ne -1$
$P=\frac{(n+1)(n^2+n-1}{(n+1)^3-n(n+1)}$
$P=\frac{(n+1)(n^2+n-1)}{(n+1)(n^2+n+1)}$
$P=\frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}$

 

[soicon_boy_9x]

b)Đặt $d=(n^2+n-1;n^2+n+1)$

$\rightarrow n^2+n+1-n^2-n+1 \vdots d \leftrightarrow 2 \vdots d$

Lại có $n^2+n-1=n(n+1)-1$ là số lẻ

$\rightarrow d$ lẻ\

$\rightarrow d=1$
Vậy $P$ là phân số tối giản

 

[baochauhn1999]

Câu 1b:
$P=\frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}$
Gọi $d$ là ƯCLN của tử số và mẫu số $(d\in N*)$
Do: $n^2+n=n(n+1)$ chia hết cho $2$ với mọi giá trị của $n$
Nên: $n^2+n+1$ và $n^2+n-1$ không chia hết cho $2$
Hay: $d$ không chia hết cho $2$ $(1)$
Mặt khác:
$n^2+n-1$ và $n^2+n+1$ chia hết cho $d$
$=>n^2+n+1-n^2-n+1$ chia hết cho $d$
$=>2$ chia hết cho $d$ $(2)$
Từ $(1);(2)$ $=>d=1$
$=>P$ tối giản

 

[soicon_boy_9x]

Bài 3:

Đặt $S_{\Delta MBC}=a \\ S_{\Delta MAC}=b \\ S_{\Delta MAB} =c$

Dễ chứng minh $\dfrac{A_1M}{AM}=\dfrac{a}{b+c}$

Tương tự cộng từng vế ta được:

$\dfrac{A_1M}{AM} +\dfrac{B_1M}{BM}+\dfrac{C_1M}
{CM}=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$ \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} \geq
\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq \dfrac{3}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c \leftrightarrow M$ là trọng tâm

 

[soicon_boy_9x]

a)Ta có:$\widehat{KBC}+\widehat{HCB}=\widehat{KBC}+
\widehat{HCB}+\widehat{ACK}=\widehat{KCB}+\widehat{ABK}+
\widehat{HCB}=\widehat{ABC}+\widehat{HCB}=90^o$

$\rightarrow \widehat{BKC}=90^o$

$\rightarrow B;E;K;D;C$ cùng thuộc một đường tròn

$\rightarrow$ $\widehat{KED}=\widehat{KBD} \\ \widehat{KDE}=
\widehat{KCE}$

$\rightarrow \widehat{KED}=\widehat{KDE}$

$\rightarrow KE=KD$

b) Vì $NE=ND(=BC/2)$ nên $N \in$ trung trực của $DE$

$KE=KD$ nên $K \in $ trung trực của $DE$

$ME=MD(=AH/2)$ nên $M \in$ trung trực $DE$

$\rightarrow M,K,N$ thẳng hàng