[Toán 9] Đề thi chọn hsg huyện Kinh Môn - Hải Dương năm 2013 - 2014

[thopeo_kool]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
1) $M = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{\sqrt{10} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} - \dfrac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}}$

2) $Q = \dfrac{\sqrt{x - \sqrt{4(x - 1)}} + \sqrt{x + \sqrt{4(x - 1)}}}{\sqrt{x^2 - 4(x - 1)}}(1 - \dfrac{1}{x - 1}) (x > 1; x \not= 2)$

Câu 2:
1) Giải phương trình: $(x + 4)\sqrt{x^2 + 7} = x^2 + 4x + 7$

2) Cho $M = \dfrac{2\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 5}$. Tìm số hữu tỉ a để M là số nguyên

Câu 3:
1) Tìm các số nguyên dương x;y thỏa mãn: $x = \sqrt{2x(x - y) + 2y - x + 2}$
2) Cho a;b là các số nguyên thỏa mãn $2a^2 + 3ab + 2b^2 \vdots 7$. CMR : $a^2 - b^2 \vdots 7$

Câu 4: Cho tg ABC vuông tại A (AC > AB) đường cao AH (H thuộc BC). Trên HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1) CMR: Tg BEC đồng dạng tg ADC. Tình BE theo AB
2) Gọi M là trung điểm của BE. CMR : Tg BHM đồng dạng Tg BEC. Tính số đo góc AHM
3) Tia AM cắt BC tại G. CMR: $\dfrac{GB}{BC} = \dfrac{HD}{AH + HC}$

Câu 5: Cho a;b;c > 0. Tìm Max:

$M = \sqrt{\dfrac{a}{b + c + 2a}} + \sqrt{\dfrac{b}{c + a + 2b}} + \sqrt{\dfrac{c}{a + b + 2c}}$

Đề năm 2012/2013

 

[chonhoi110]

Câu 2
1, Đặt $t =\sqrt{x^2+7}; (t \ge 0)$

pt $\Longleftrightarrow (x+4)t-t^2=-(x^2+7)+x^2+4x+7$

$\Longleftrightarrow t^2-(x+4)t+4x=0$

$\Longrightarrow t=4 $hoặc $t=x$

Dễ thấy loại $TH: t=x \Longrightarrow x= \pm 3$

2, $M = 2-\dfrac{8}{\sqrt{a} + 5}$

Ta có $-\dfrac{8}{\sqrt{a} + 5} < 0 \Longrightarrow M < 2$

Mặt khác $\sqrt{a} \ge 0 \Longrightarrow -\dfrac{8}{\sqrt{a} + 5} \ge \dfrac{-8}{5} \Longrightarrow M \ge \dfrac{2}{5}$

$\Longrightarrow 0,4 \le M < 2 $

Vậy $M=1$ khi $x=9 $

 

[eye_smile]

5,$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+2a}} \le \dfrac{1}{4}+\dfrac{2a}{2(b+c+2a)}$

Tương tự, có: $M \le \dfrac{3}{4}+(\dfrac{a}{b+c+2a}+\dfrac{b}{a+c+2b}+\dfrac{c}{a+b+2c}) \le \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}.3=...$

p.s:Mưa quá(

 

[nhuquynhdat]

Câu 4

Bạn nào có lòng tốt ủng hộ tớ cái hình ) ( lười vẽ)

a) CM: $\Delta CDE \sim \Delta CAB (g-g) \Longrightarrow \dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{AC} \Longrightarrow \dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{AC}$

Kết hợp với $\widehat{C}$ chung $ \Longrightarrow \Delta BEC \sim \Delta ADC (c-g-c)$

Ta có: $\Delta AHD$ vuông cân tại H $ \Longrightarrow \widehat{ADH}=45^o \Longrightarrow \widehat{ADE}=45^o \Longrightarrow \widehat{ADC}=135^o \Longrightarrow \widehat{BEC}=135^o \Longrightarrow \widehat{AEB}=45^o$

$ \Longrightarrow \Delta ABE$ vuông cân tại A $ \Longrightarrow BE=AB \sqrt 2$

b) $\Delta ABC$ vuông tại A, $AH \perp BC \Longrightarrow AB^2=BH.BC$

Lại có, $\Delta ABE$ vuông cân tại A, AM là trung tuyến $ \Longrightarrow AM \perp BE \Longrightarrow AB^2=BM.BE$

$ \Longrightarrow BH.BC=BM.BE \Longrightarrow \dfrac{BH}{BE}=\dfrac{BM}{BC}$
Kết hợp với $\widehat{CBE}$ chung $ \Longrightarrow \Delta BHM \sim \Delta BEC (c-g-c)$

$ \Longrightarrow \widehat{BHM}=\widehat{BEC}=135^o \Longrightarrow \widehat{AHM}=45^o$

c) Có: $DE//AH \Longrightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{HD}{HC}$

$\Delta ABE$ cân tại A $ \Longrightarrow AB=AE$

AM là trung tuyến $ \Longrightarrow$ AM là phân giác

$ \Longrightarrow AG$ là phân giác $\widehat{BAC} \Longrightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{GB}{GB}$

Hay $\dfrac{GB}{GC}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{HD}{HC} \Longrightarrow \dfrac{GB}{GB+GC}=\dfrac{HD}{HD+HC}$

$ \Longrightarrow \dfrac{GB}{BC}=\dfrac{AH}{HD+HC}$ (do HD=AH)