toán 9 cùng làm

[tuananh8]

có bài khó nè:
tìm min [TEX]x^2+y^2+z^2[/TEX] với x,y,z dương và [TEX]2(x+y+z)+3(xy+yz+zx)+4\sqrt[]{xyz}(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})=27[/TEX]

Đặt [tex]A=2(x+y+z)+3(xy+yz+zx)+4\sqrt[]{xyz}(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})=27[/TEX]

[TEX]A=2(x+y+z)+4\sqrt[]{xyz}(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})+3(xy+yz+zx)[/TEX]

[TEX]A=2x+4x\sqrt[]{yz}+2y+4y\sqrt[]{xz}+2z+4z\sqrt[]{xy}+3(xy+yz+zx)[/TEX]

[TEX]A=2x(1+2\sqrt[]{yz}+2y(1+2\sqrt[]{zx})+2z(1+2\sqrt[]{xy})+3(xy+yz+zx)[/TEX]

theo BĐT cô-si:

[TEX]2\sqrt[]{yz} \leq y+z \; ; 2\sqrt[]{zx} \leq z+x \; ; 2\sqrt[]{xy} \leq x+y[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A \leq 2x(1+y+z)+2y(1+z+x)+2z(1+x+y)+3(xy+yz+zx)[/TEX]

[TEX]=2x+2y+2z+7(xy+yz+zx)[/TEX]

Mặt khác: [TEX](x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2) \Rightarrow x+y+z \leq \sqrt[]{3(x^2+y^2+z^2)} \; (1)[/TEX]

[TEX]xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2 \; (2)[/TEX]

từ (1) và (2) suy ra:

[TEX]A \leq 2\sqrt[]{3(x^2+y^2+z^2)}+7(x^2+y^2+z^2)[/TEX]

Hay [TEX]27 \leq 2\sqrt[]{3(x^2+y^2+z^2)}+7(x^2+y^2+z^2)[/TEX]

Đặt [TEX]\sqrt[](x^2+y^2+z^2}=a[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 27 \leq 2\sqrt[]{3}a+7a^2 \Leftrightarrow 7a^2+2\sqrt[]{3}a-27 \geq 0 \Leftrightarrow (a-\sqrt[]{3})(a+9\sqrt[]{3}) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{a \geq \sqrt[]{3}}\\{a \leq \frac{-9\sqrt[]{3}}{7}} [/TEX]

Vì [TEX]a> 0 [/TEX] nên [TEX]a \geq \sqrt[]{3} \Rightarrow a^2 \geq 3[/TEX] hay [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq 3[/TEX]

Vậy [TEX]Min_B=3 \Leftrightarrow x=y=z=1[/TEX]

 

[tuananh8]

có bài khó nè:
tìm min [TEX]x^2+y^2+z^2[/TEX] với x,y,z dương và [TEX]2(x+y+z)+3(xy+yz+zx)+4\sqrt[]{xyz}(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})=27[/TEX]

Cách 2:

Đặt [tex]A=2(x+y+z)+3(xy+yz+zx)+4\sqrt[]{xyz}(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})=27[/TEX]

[TEX]A=2(x+y+z)+4\sqrt[]{xyz}(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})+3(xy+yz+zx)[/TEX]

[TEX]A=2x+4x\sqrt[]{yz}+2y+4y\sqrt[]{xz}+2z+4z\sqrt[]{xy}+3(xy+yz+zx)[/TEX]

[TEX]A=2x(1+2\sqrt[]{yz}+2y(1+2\sqrt[]{zx})+2z(1+2\sqrt[]{xy})+3(xy+yz+zx)[/TEX]

theo BĐT cô-si:

[TEX]2\sqrt[]{yz} \leq y+z \; ; 2\sqrt[]{zx} \leq z+x \; ; 2\sqrt[]{xy} \leq x+y[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A \leq 2x(1+y+z)+2y(1+z+x)+2z(1+x+y)+3(xy+yz+zx)[/TEX]

[TEX]=2x+2y+2z+7(xy+yz+zx)[/TEX]

Mặt khác: [TEX](x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \geq 0 \forall x,y,z \Rightarrow 2(x+y+z) \leq x^2+y^2+z^2+3[/TEX]

[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A \leq 8(x^2+y^2+z^2)+3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 27 \leq 8(x^2+y^2+z^2)+3 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 3[/TEX] đpcm.