[Toán 9]Cực trị thi vào 10 chuyên!

[asroma11235]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]\left{a,b,c > 0 \\ a+b+c \leq 3[/TEX]
Tìm Min : [TEX]P= \frac{a^3}{b^2}+ \frac{b^3}{c^2}+ \frac{c^3}{a^2}+ 27(\frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca})[/TEX]


Đ/s: Min P=84
Chú ý:[Toán 9]+Tiêu đề

 

[tuyn]

[TEX]P \geq 3 \sqrt[3]{abc}+ \frac{81}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}[/TEX]

[TEX]= \frac{3}{2}[ \sqrt[3]{abc}+ \sqrt[3]{abc}+ \frac{1}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}]+ \frac{159}{2 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}[/TEX]
Ta có:
[TEX] \sqrt[3]{abc}+ \sqrt[3]{abc}+ \frac{1}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}} \geq 3 (theo-Cauchy)[/TEX]

[TEX]3 \geq a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} \Rightarrow \frac{1}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}} \geq 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow P \geq \frac{9}{2}+ \frac{159}{2}=84[/TEX]

Vậy [TEX]MinP=84 \Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

[TEX]P \geq 3 \sqrt[3]{abc}+ \frac{81}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}[/TEX]

[TEX]= \frac{3}{2}[ \sqrt[3]{abc}+ \sqrt[3]{abc}+ \frac{1}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}]+ \frac{159}{2 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}[/TEX]
Ta có:
[TEX] \sqrt[3]{abc}+ \sqrt[3]{abc}+ \frac{1}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}} \geq 3 (theo-Cauchy)[/TEX]

[TEX]3 \geq a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} \Rightarrow \frac{1}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}} \geq 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow P \geq \frac{9}{2}+ \frac{159}{2}=84[/TEX]

Vậy [TEX]MinP=84 \Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]

! Mạo muội em làm C2 nhé
Ta sử dụng AM-GM cồng luôn
[TEX]\frac{a^3}{2b^2} + \frac{a^3}{2b^2} + \frac{b^3}{2c^2} + \frac{b^3}{2c^2} + \frac{c^3}{2a^2} + \frac{c^3}{2a^2} + \frac{1}{2ab} + \frac{1}{2bc} + \frac{1}{2ac} \geq 9\sqrt[9]{\frac{1}{2}^9} = \frac{9}{2}[/TEX] (*)

Còn lại
[TEX]\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} \geq \frac{9}{ab + bc + ac} \geq \frac{9}{\frac{(a + b + c)^2}{3}} \geq 3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{53}{2}( \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \geq \frac{53.3}{2} [/TEX](*)(*)

Cộng (*) ; (*)(*) ta đc đpcm !

 

[taolmdoi]

[TEX]P \geq 3 \sqrt[3]{abc}+ \frac{81}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}[/TEX]

[TEX]= \frac{3}{2}[ \sqrt[3]{abc}+ \sqrt[3]{abc}+ \frac{1}{ \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}]+ \frac{159}{2 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}[/TEX]

Sao mod lại tách được như trên ?..............................

 

[asroma11235]

Sao mod lại tách được như trên ?..............................

Dùng điểm rơi trong AM-GM bạn à!

p/s: Lần sau gọi tên mod cho đúng nhé, trên diễn đàn nhiều mod lắm

:khi:
.

 

[taolmdoi]

Dùng điểm rơi trong AM-GM bạn à!

:khi:
.

nhưng mà mod "ASROMA11235" dùng điểm rơi như thế nào
mod trynhf bày dúp với

 

[thienlong_cuong]

nhưng mà mod "ASROMA11235" dùng điểm rơi như thế nào
mod trynhf bày dúp với

Mình xin được xen vào !
Cách chọn điểm rơi trong bài này là
Dễ thấy vai trò x , y , z là bình đẳng nên ta nghĩ tới việc GTNN xảy ra tại x = y = z
Mặt khác gt cho x + y + z \leq 3
Nên ta nghĩ tới x = y = z = 1
Từ đó tách các hệ số của các biến sao cho sử dụng đc BĐT AM-GM !

 

[asroma11235]

Mình xin được xen vào !
Cách chọn điểm rơi trong bài này là
Dễ thấy vai trò x , y , z là bình đẳng nên ta nghĩ tới việc GTNN xảy ra tại x = y = z
Mặt khác gt cho x + y + z \leq 3
Nên ta nghĩ tới x = y = z = 1
Từ đó tách các hệ số của các biến sao cho sử dụng đc BĐT AM-GM !

Cụ thể thì vào đây!
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=193336