[Toán 9] .CMR ít nhất 1 trong 3 số a,b,c là bình phương của 1 số hữu tỉ.

[phatnaruto]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ, thoả mãn abc=1 và [TEX]\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}[/TEX].CMR ít nhất 1 trong 3 số a,b,c là bình phương của 1 số hữu tỉ.
2,Cho a,b,c là 3 số nguyên khác 0 thoả mãn [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3[/TEX]. CMR: abc là lập phương của 1 số nguyên.
3,Cho các số thực a,b,c thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=6[/TEX].CMR a^2012+b^2012+c^2012=3
(bài 3 từng đăng rồi nhưng lộn đề)
4,Cho các số thực a,b,c thoả mãn a+b+c=0.CMR
[TEX]a) 2(a^4+b^4+c^4)= (a^2+c^2+c^2)^2[/TEX]
[TEX]b)\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=abc.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}[/TEX]

 

[coganghoctapthatgioi]

Đặt [TEX]\frac{a^2}{c}[/TEX]=x;[TEX]\frac{b^2}{a}[/TEX]=y;[TEX]\frac{c^2}{b}[/TEX]=z

\Rightarrow [TEX]\frac{a^2}{c}[/TEX].[TEX]\frac{b^2}{a}[/TEX].[TEX]\frac{c^2}{b}[/TEX]=x.y.z=1

[TEX]\frac{c}{a^2}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{x}[/TEX]; [TEX]\frac{a}{b^2}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{y}[/TEX]; [TEX]\frac{a}{c^2}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{z}[/TEX]

Ta có: x+y+z=[TEX]\frac{1}{x}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{y}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{z}[/TEX]

\Rightarrowx+y+z=[TEX]\frac{xy+yz+zx}{xyz}[/TEX]=xy+xz+yz(1)

Lại có: (x-1)(y-1)(z-1)

=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1

=1-x-y-z+x+y+z-1 ( Do xyz=1 và xy+yz+zx=x+y+z)
=0
\Rightarrow x-1, y-1 ,z-1 ít nhất 1 số bằng 0

Nếu x-1=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow [TEX]\frac{a^2}{c}[/TEX]=1
\Rightarrow[TEX]a^2[/TEX]=c (1)

Tương tự y-1=0 \Rightarrow [TEX]b^2[/TEX]=a (2)

z-1=0 \Rightarrow [TEX]c^2[/TEX]=b (3)

Từ (1). (2) và (3)\Rightarrow đpcm

 

[jet_nguyen]

Bài 2:
Đặt $\dfrac{a}{b}={x}^{3}, \dfrac{b}{c}={y}^{3},\dfrac{c}{a}={z}^{3} \Longrightarrow {x}^{3} +{y}^{3}+{z}^{3}=3xyz $
Hay $ (x+y+z)({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} -xy-yz-zx)=0$

$\bullet$ Xét ${x}^{2} +{y}^{2}+{z}^{2} -xy-yz-zx=0 \Longrightarrow x=y=z=1$.
Suy ra a=b=c do đó $abc={a}^{3}$

$\bullet$ Xét x+y+z=0, sẽ chứng minh được
$ abc={(\dfrac{bc-ab}{a-b})}^{3}$
Vì abc nguyên nên vế phải là lập phương của một số nguyên

 

[conangbuongbinh_97]

3.
Ta có:
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}\\\Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq (a^2+b^2+c^2)+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\\ \geq 6\(cosi)[/TEX]
"=" \Leftrightarrow [TEX]a^2=b^2=c^2=1[/TEX]
Mặt khác
[TEX]a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=6[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2=b^2=c^2=1\\\Leftrightarrow (a^2)^{2006}=(b^2)^{2006}=(c^2)^{2006}=1\\\Leftrig a^{2012}=b^{2012}=c^{2012}=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}=3 [/TEX](đpcm)

 

[jet_nguyen]

Bài 4:
Câu a:
Ta có:
$$ a+b+c=0$$$$ \Longleftrightarrow (a+b+c)^2=0$$$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 =-2(ab+bc+ac)$$$$ \Longleftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2 =4(ab+bc+ac)^2$$$$ \Longleftrightarrow a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)= 4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2)$$$$ \Longleftrightarrow a^4+b^4+c^4 = 2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+ 8abc(a+b+c)$$$$ \Longleftrightarrow a^4+b^4+c^4 =2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) \,\ \mbox{Do a+b+c=0}$$ Mặt khác ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 = 4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+2abc(a+b+c)$$$$ \Longleftrightarrow(a^2+b^2+c^2)^2 = 4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) \,\ \mbox{Do a+b+c=0}$$ Vì thế $$ 2(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2 \, \ \mbox{(dpcm)}$$
Câu b: Ta có:
$$\bullet \,\ a+b+c=0 \Longrightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$$$\bullet \,\ a^5 + b^5 + c^5 = (a^3 + b^3 + c^3)(a^2 + b^2 + c^2) - a^3(b^2 + c^2) - b^3(a^2 + c^2) - c^3 (a^2 + b^2)$$$$=3abc(a^2 + b^2 + c^2) - a^2b^2(a+b) - b^2c^2(b+c) - c^2a^2(c+a)$$$$= 3abc(a^2 + b^2 + c^2) + abc(ab+bc+ca) \,\ \mbox{Do a+b+c = 0} $$$$= 3abc(a^2 + b^2 + c^2) - \frac{abc(a^2 + b^2 + c^2)}{2}$$$$= \dfrac{5abc(a^2 + b^2 + c^2)}{2}$$$$ \Longrightarrow 2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)$$

 

[phatnaruto]

a

Bài 2:
Đặt $\dfrac{a}{b}={x}^{3}, \dfrac{b}{c}={y}^{3},\dfrac{c}{a}={z}^{3} \Longrightarrow {x}^{3} +{y}^{3}+{z}^{3}=3xyz $
Hay $ (x+y+z)({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} -xy-yz-zx)=0$

$\bullet$ Xét ${x}^{2} +{y}^{2}+{z}^{2} -xy-yz-zx=0 \Longrightarrow x=y=z=1$.
Suy ra a=b=c do đó $abc={a}^{3}$

$\bullet$ Xét x+y+z=0, sẽ chứng minh được
$ abc={(\dfrac{bc-ab}{a-b})}^{3}$
Vì abc nguyên nên vế phải là lập phương của một số nguyên

Mik ko hiểu,vì sao x+y+z=0 thì lại đc như vậy.Bạn có thể giải thích kĩ hơn đc ko