[Toán 9] CM bất bẳng thức

[doremon_1996]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: cho x,y,z là 3 số thực dương .CM
[tex] \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/tex]

Bài 2: cho a,b là các số thực dương.CM
[tex](a+b)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})\geq4[/tex]
Chú ý latex + tên tiêu đề

 

[nhockthongay_girlkute]

Bài 1: cho x,y,z là 3 số thực dương .CM
[TEX] \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/TEX]

Bài 2: cho a,b là các số thực dương.CM
[TEX](a+b)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})\geq4[/TEX]

2. [TEX]a+b\geq 2\sqrt{ab}; \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}[/TEX]
nhân lại

 

[0915549009]

Bài 1: cho x,y,z là 3 số thực dương .CM
[tex] \frac{x}{y}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/tex]

[TEX]\sum \frac{x}{y+z} =\sum \frac{x^2}{xy+xz} \geq \frac{(\sum x)^2}{2\sum xy} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[win421612]

dễ ợt. bài 1:
Đạt x+y=a; y+z=b; x+z=c suy ra x+y+z=a+b+c/2.Ta có: x= (a+b+c)/2-b=a-b+c/2. CM tương tư ta có: z=b-a+c/2; y=a+b-c/2. Thay vào ta có biểu thức = a-b+c/2b + a+b-c/2c + b-a+c/2a = 1/2nhân với ( a-b+c/b + a+b-c/c + b-a+c/a)= a/b - 1 + c/b + a/c + b/c - 1 + b/a + c/a - 1 nhân với 1/2= a/b + b/a + c/b + b/c + c/a + a/c - 3 nhân với 1/2. Áp dụng BĐT Cô si với 3 số không âm a,b,c ta có: P>= (2+2+2-3)x1/2= 3/2 . Dấu bằng xảy ra khi x=y=z.
Bài 2a+b)x(1/a+1/b)= 2 + a/b + b/a. Áp dụng BĐT Cô si ta có: P>= 2+2=4. Dấu bằng xảy ra khi a=b. Giải đến bài này thôi nhé các phần kia dễ mà.

 

[helldemon]

bài 1: Cho x,y,z là 3 số thực dương .cm
[tex]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/tex]

bài 2: Cho a,b là các số thực dương.cm
[tex](a+b)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})\geq4[/tex]

bài 1 :
[tex]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}[/tex]

[TEX]\frac{x}{y+z} + \frac{y+z}{4} \geq \sqrt{x}[/TEX] (cauchy)
tương tự :
[TEX]\frac{y}{z+x} + \frac{z+x}{4}\geq \sqrt{y}[/TEX]

[TEX]\frac{z}{x+y} + \frac{x+y}{4}\geq \sqrt{z}[/TEX]

cộng vế theo vế :

[TEX]\frac{x}{y+z} + \frac{y+z}{4} + \frac{y}{z+x} + \frac{z+x}{4} + \frac{z}{x+y} + \frac{x+y}{4} \geq \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX] VT + \frac{x+y+z}{2} \geq \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} [/TEX]
\Leftrightarrow VT + [TEX]\frac{(x+1)^2 + ( y+1)^2 + (z+1)^2}{2}[/TEX] \geq [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
\Rightarrow VT \geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

 

[ohmymath]

Bài 1 chính là BĐT Nesbit mà!!! Bài 1 còn có thể giải theo cách rất hay sau(mình đọc được)
Đặt A= [TEX]\sum \frac{x}{y+z}[/TEX]
B= [TEX]\sum \frac{y}{y+z}[/TEX]
C= [TEX]\sum \frac{z}{y+z}[/TEX]

Suy ra B+C =3!
Có A+B = [TEX]\sum \frac{x+y}{y+z} \geq 3[/TEX] (CôSi 3 số)
Tương tự có A+C [TEX]\geq[/TEX] 3
Do Đó 2A + B+C[TEX]\geq[/TEX] 6
Kết hợp với bên trên ta có điều phải chứng minh!!!

P/S: cách giải của Phạm Kim Hùng!!Ôi thần tượng của tui!!!

 

[girltoanpro1995]

Bài 2: cho a,b là các số thực dương.CM
[tex](a+b)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})\geq4[/tex]

[tex](a+b)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})=(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^2+4 [/tex]

 

[girltoanpro1995]

Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TX Hà Đông, Hà Tây, 2002-2003

Rút gọn: [tex]\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ab+bc}}+\sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}[/tex]

 

[trydan]

Rút gọn: [tex]\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ab+bc}}+\sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}[/tex]

Xét 2 trường hợp

và

 

[james_bond_danny47]

chứng minh bất đẳgn thức với x,y,z >0
[TEX]\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{y^2+yz+2z^2}+\sqrt{z^2+xz+2x^2}\geq2 (x+y+z)[/TEX]
cần gấp

 

[vodichhocmai]

chứng minh bất đẳgn thức với x,y,z >0
[TEX]\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{y^2+yz+2z^2}+\sqrt{z^2+xz+2x^2}\geq2 (x+y+z)[/TEX]
cần gấp

Nó thì luôn đúng do [TEX]\sqrt{x^2+x+2}\ge \frac{3x+5}{4}[/TEX]|

 

[01263812493]

chứng minh bất đẳgn thức với x,y,z >0
[TEX]\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{y^2+yz+2z^2}+\sqrt{z^2+xz+2x^2}\geq2 (x+y+z)[/TEX]
cần gấp

[TEX]\blue VT \geq \sum \sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+y^2} \geq \sqrt{\frac{3}{4}(2\sum x)^2+(\sum x)^2} =\sqrt{4(\sum x)^2}=2(\sum x)[/TEX]

 

[james_bond_danny47]

[TEX]\blue VT \geq \sum \sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+y^2} [/TEX]

có phải vì vai trò bình đẳng của x,y, nên bạn giả sử x\leqy\leqz đúng ko
mình nghĩ bạn làm như vậy, nhưng nếu làm vậy thì bị vướng ở chỗ [tex]z^2+xz+2x^2 \geq 4x^2 [/tex].

theo mình thì nên làm tới bước
VT [tex]\geq \sum \sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+y^2}[/tex]
2 cái kia tương tự rồi dùng Min-copki cho 3 số
nhớ thanks nha