[toán 9] chứng minh

[p3nh0ctapy3u]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \geq4 (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/TEX]

 

[namama01]

jhgjhghjgjhgh

bình phương 2 vế lên sau đó khai triển ra
hoặc cộng hay nhân vào 2 vế một phân số để rút gon tiêu biens vé phải

 

[thienlong_cuong]

[TEX]\frac{b}{a} + ,\frac{b}{c} \geq \frac{4b}{a + c}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm

 

[bosjeunhan]

[TEX]\frac{b}{a} + ,\frac{b}{c} \geq \frac{4b}{a + c}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm

Bất đẳng thức tương đương:

[TEX](\frac{a}{b}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{b}{c})+\frac{b}{a})+(\frac{c}{b}+\frac{c}{a}) \geq \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}[/TEX]

Vậy ta cần chứng minh:

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{a}{c} \geq \frac{4a}{b+c}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b+c}[/TEX]

Bất đẳng thức luôn đúng, suy ra ĐPCM

 

[rinnegan_97]

cách khác:

\Leftrightarrow[TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+12\geq4(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=2.(a+b+b+c+c+a)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq18[/TEX]

 

[vitconxauxi_vodoi]

[toán 9]chứng minh

Ta có:
VT=[TEX]\frac{b}{a}+[/TEX][TEX]\frac{c}{a}+[/TEX][TEX]\frac{c}{b}+[/TEX]\frac{a}{b}+[TEX]\frac{a}{c}+[/TEX][TEX]\frac{b}{c}[/TEX]

=([TEX]\frac{b}{a}+[/TEX][TEX]\frac{b}{c}[/TEX])[TEX]+[/TEX]([TEX]\frac{c}{a}+[/TEX][TEX]\frac{c}{b}[/TEX])[TEX]+[/TEX]([TEX]\frac{a}{b}+[/TEX][TEX]\frac{a}{c}[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bộ 2 ta có:

([TEX]\frac{b}{a}+[/TEX][TEX]\frac{b}{c}[/TEX]).([TEX]a+c[/TEX])\geq([TEX]\sqrt{b}+[/TEX][TEX]\sqrt{b}[/TEX])[TEX]^2[/TEX]\Rightarrow[TEX]\frac{b}{a}+[/TEX][TEX]\frac{b}{c}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{4b}{a+c}[/TEX]

Tương tự ta có:

[TEX]\frac{c}{a}+[/TEX][TEX]\frac{c}{b}[/TEX]\geq[TEX]\frac{4c}{a+b}[/TEX];

\frac{a}{b}[TEX]+[/TEX][TEX]\frac{a}{c}[/TEX]\geq[TEX]\frac{4a}{b+c}[/TEX]

Cộng vế với vế các bất đẳng thức\Rightarrowđpcm

Dấu = xảy ra\Leftrightarrow[TEX]a=b=c[/TEX]

 

[nk0k_bu0n_nb]

[toán 9]chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức côsi có:

[TEX]\left{\begin{a+b}\geq2\sqrt{ab}\\{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2{\frac{1}{\sqrt{ab}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX]([TEX]a+b[/TEX]).([TEX]\frac{1}{a}+[/TEX][TEX]\frac{1}{b}[/TEX][TEX]\geq 4[/TEX])

[TEX]\Rightarrow[/TEX][TEX]\frac{1}{a}+[/TEX][TEX]\frac{1}{b}[/TEX][TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\frac{4}{a+b}[/TEX]

Dấu = xảy ra[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]a=b

Tương tự ta có:

[TEX]\frac{b+c}{a}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{c+a}{b}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]4[/TEX].([TEX]\frac{a}{b+c}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{b}{a+c}[/TEX])

[TEX]\frac{b+c}{a}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{a+b}{c}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]4[/TEX]([TEX]\frac{a}{b+c}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{c}{a+b}[/TEX])

[TEX]\frac{c+a}{b}[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{a+b}{c}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]4[/TEX]([TEX]\frac{b}{c+a}+[/TEX][TEX]\frac{c}{a+b}[/TEX])

[TEX]\Rightarrow[/TEX][TEX]2A\geq 4[/TEX]([TEX]\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}[/TEX])

[TEX]\Rightarrow[/TEX]Đpcm