[Toán 9] chứng minh

V

vuhoang97

mình ko biết có đúng ko nữa

từ đầu bài mình biến đổi về dạng: p(m^2+n^2)=m^2.n^2
Vế phải là số chính phương.
TH1:m^2 + n^2 la số chính phương
vậy để vế trái là số chính phương thì p phải là số chính phương (loại vì p là số nguyên tố).
TH2:m^2 + n^2 ko la số chính phương tức là có dạng k.x^2
vậy để vế trái là số chính phương thì p phải có dạng k.a^2 (loại vì p là số nguyên tố).
vậy => đpcm
:):):):):):):):):)
 
R

rongtuongduong

Bạn ơi ví dụ như m = 3,n =2 thì m^2 + n^2 = 13 làm gì có dạng k.x^2 à bạn.
 
H

happytomorrowww

hô hô..
Bài nỳ mình vừa làm xong :D

Giả sử tồn tại p thỏa mãn đề bài
Ta có:
[TEX]\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2} \Leftrightarrow p(m^2+n^2)=m^2n^2 \Rightarrow m^2n^2\vdots p[/TEX]

Mà p là số nguyên tố
[TEX]\Rightarrow mn\vdots p\Rightarrow m\vdots p [/TEX] hoặc [TEX]n\vdots p[/TEX]

Giá trị m,n bình đẳng nên giả sử [TEX]m\vdots p[/TEX]
[TEX]\Rightarrow m=pk (k\epsilon N*) \Rightarrow p(m^2+n^2)=p^2k^2n^2 \Rightarrow m^2+n^2=pk^2n^2 \Rightarrow m^2+n^2\vdots p[/TEX]
Mà [TEX]m\vdots p[/TEX] nên [TEX]n^2\vdots p \Rightarrow n\vdots p[/TEX]
Như vậy m và n cùng chia hết cho p
Lại có m,n là các số nguyên dương và p là số nguyên tố.
[TEX]\Rightarrow m\geq p> 0; n\geq p> 0 \Rightarrow m^2\geq p^2; n^2\geq p^2 \Rightarrow \frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\leq \frac{2}{p^2}[/TEX]

Hay [TEX]\frac{1}{p}\leq \frac{2}{p^2} \Rightarrow p^2\leq 2p \Rightarrow p<2[/TEX]
Rõ ràng p<2 ko là số nguyên tố
Vậy ta có điều phải chứng minh..

Thân !
 
A

asassint123

Ta có
[TEX]\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow\frac{1}{p}=\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow p=\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}[/TEX]
Mà p là số nguyên tố lẻ nên [TEX]\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}[/TEX] là số lẻ
Suy ra
TH1 [TEX]m^2n^2[/TEX](1) là số lẻ và [TEX]m^2+n^2[/TEX](2) là số chẵn
Từ (1) ta có [TEX]m^2[/TEX] [TEX]n^2[/TEX] khác tính chẵn lẻ nên [TEX]m^2+n^2[/TEX] là số lẻ ( vô lí )
TH2 [TEX]m^2n^2[/TEX] là số chẵn và [TEX]m^2+n^2[/TEX] là số lẻ
CMTT ta có kết quả như trên
 
H

happytomorrowww

asassint123 said:
Ta có
[TEX]\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow\frac{1}{p}=\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow p=\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}[/TEX]
Mà p là số nguyên tố lẻ nên [TEX]\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}[/TEX] là số lẻ
Suy ra
TH1 [TEX]m^2n^2[/TEX](1) là số lẻ và [TEX]m^2+n^2[/TEX](2) là số chẵn
Từ (1) ta có [TEX]m^2[/TEX] [TEX]n^2[/TEX] khác tính chẵn lẻ nên [TEX]m^2+n^2[/TEX] là số lẻ ( vô lí )
TH2 [TEX]m^2n^2[/TEX] là số chẵn và [TEX]m^2+n^2[/TEX] là số lẻ
CMTT ta có kết quả như trên
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bạn ơi cho mình hỏi tại sao từ (1) lại suy ra m,n khác tính chẵn lẻ nhỉ :D Thật sự là mình vẫn chưa hiểu lắm đâu [ko hiểu ngu hay chưa đọc kỹ hay tại bạn làm sai :D ]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom