[Toán 9] Chứng minh các bất đẳng thức đơn giản biến đổi tương đương

[huynhbachkhoa23]

Cauchy-Schwarz: $a^2+b^2+c^2+d^2 \ge \dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}=1$

Cách khác.

1. Giả sử $a\ge b \ge c \ge d$

Theo Chebysev: $\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} \ge \dfrac{a+b+c+d}{4}.\dfrac{a+b+c+d}{4}$ hay $a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 1$

2. Theo Cauchy: $a^2+\dfrac{1}{4} \ge a \rightarrow \sum a^2 \ge \sum a - 1=1$

3. Giả sử $a \ge b \ge c \ge d$

Theo Trebusep: $a.a+b.b+c.c+d.d \ge \dfrac{1}{4}.(a+b+c+d)(a+b+c+d)=1$

4. $f(x)=x^2$

$\dfrac{df}{dx}=2x; \dfrac{d^2f}{(dx)^2}=2 > 0$

$f(x) \ge f'(\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{2})$

Hay $\sum a^2 \ge \dfrac{1}{2}(\sum a -2)+1=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi a,b,c,d thuộc tập R với điều kiện trong dấu ngoặc
[TEX]a) a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq 1 (a + b + c + d = 2)[/TEX]
[TEX]b) ab(a^2 + b^2) \leq 2 (a + b = 2)[/TEX]
[TEX]c) a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca \geq 6 (a + b + c = 3)[/TEX]
[TEX]d) a^5 + b^5 \geq 2 (a + b = 2)[/TEX]
[TEX]e) b^3 - a^3 - 6b^2 - a^2 + 9b >=0 (a + b = 3 a\leq 1 )[/TEX]
[TEX]f) a^3 + b^3 \leq a^4 + b^4 (a + b \geq 2)[/TEX]
Bài này thầy của em yêu cầu làm bằng cách biến đổi tương đương, có thể sử dụng một số bất đẳng thức tương đương đúng. Các bạn, anh chị giúp em với nhé

@hoangtubongdem5: Chú ý tiêu đề : [Toán 9] + Tiêu đề
~> Lần này mình nhắc nhở và sửa giúp, còn lần sau sẽ xóa

b) Thay $b=2-x$ và $a=x$

Có $VT = f(x)=(-x^2+2x)(2x^2-4x+4)=-2t^2-4t=g(t)$ với $t=x^2-2x=(x-1)^2-1 \ge -1$

$VT=g(t)=-2(t-1)^2+2 \le 2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1$

c) $VT=\sum a^2+ \sum ab = (\sum a)^2-\sum ab \ge 9-\dfrac{(\sum a)^2}{3}=6$

d) Theo Holder: $a^5+b^5 \ge \dfrac{(a+b)^5}{16}=2$

Hoặc dùng đạo hàm: $f(x)=x^5+(2-x)^5$

$f'(x)=5x^4-5(2-x)^4=0 \leftrightarrow x=1$

$f''(1)>0 \rightarrow f(x) \ge f(1)=2$

f) $x^4-x^3-x+1=x^3(x-1)-(x-1)=(x-1)^2(x^2+x+1) \ge 0$

Suy ra $x^4-x^3 \ge x-1$

Áp dụng vào: $a^4-a^3+b^4-b^3 \ge a+b-2=0$

Suy ra $a^4+b^4 \ge a^3+b^3$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài e có vẻ đề sai sai thì phải.

Thay $b=2a$ được $VT=a(7a^2-25a+18)=f(a)$

$f(a)=0 \leftrightarrow a= \left[\begin{array}{ll} 0
\\1
\\ \dfrac{18}{7}\\ \end{array} \right.$

$f(a) \ge 0 \leftrightarrow a\in [0;1]\cap [\dfrac{18}{7};+∞]$

Đề ra là $a\le \dfrac{1}{3}$. Với $a=-1$, BDT sai.