[Toán 9] Chứng minh các bất đẳng thức đơn giản biến đổi tương đương

[yeahman]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi a,b,c,d thuộc tập R với điều kiện trong dấu ngoặc
[TEX]a) a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq 1 (a + b + c + d = 2)[/TEX]
[TEX]b) ab(a^2 + b^2) \leq 2 (a + b = 2)[/TEX]
[TEX]c) a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca \geq 6 (a + b + c = 3)[/TEX]
[TEX]d) a^5 + b^5 \geq 2 (a + b = 2)[/TEX]
[TEX]e) b^3 - a^3 - 6b^2 - a^2 + 9b >=0 (a + b = 3 a\leq 1 )[/TEX]
[TEX]f) a^3 + b^3 \leq a^4 + b^4 (a + b \geq 2)[/TEX]
Bài này thầy của em yêu cầu làm bằng cách biến đổi tương đương, có thể sử dụng một số bất đẳng thức tương đương đúng. Các bạn, anh chị giúp em với nhé

@hoangtubongdem5: Chú ý tiêu đề : [Toán 9] + Tiêu đề
~> Lần này mình nhắc nhở và sửa giúp, còn lần sau sẽ xóa

 

[tranvanhung7997]

c, $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca \ge 6$
<=> $(a + b+ c)^2 - (ab + bc + ca) \ge 6$
<=> $9 - (ab + bc + ca) \ge 6$ vì $a + b + c =3$
<=> $3 \ge (ab + bc + ca)$
<=> $9 \ge 3(ab + bc + ca)$
<=> $(a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)$
<=> $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \ge 0$
<=> $(a- b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0$ luôn đúng
Dấu = có <=> a = b =c = 1

 

[yeahman]

Cho mình hỏi bài b và bài d đi, mình còn bí 2 bài này

 

[vipboycodon]

sau một hồi suy nghĩ cũng ra cách làm nhưng k0 biết đúng hay sai.
theo bdt cô-si ta có:
$\frac{a+b}{2} \ge\sqrt{ab}$ <=> $1 \ge \sqrt{ab}$
<=>$ ab \le 1$
$a^2+b^2 \ge 2\sqrt{a^2b^2}$
<=> $a^2+b^2 \ge 2ab$
nhân vế với vế ta có:
$ab(a^2+b^2) \le 2ab$
<=> $ab(a^2+b^2) \le 2$(vì ab=1).
Dấu "=" xảy ra khi
{$\begin{matrix} a=b \\ a^2=b^2 \end{matrix}$

 

[vipboycodon]

d)ta có : a+b=2
áp dụng bdt cô-si ta có:
*$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
<=> $1 \ge \sqrt{ab}$
=> ab = 1.
*$a^2+b^2 \ge 2\sqrt{a^2b^2}$
<=> $a^2+b^2 \ge 2ab$
<=> $a^2+b^2 \ge 2$ (vì ab=1)
*$a^3+b^3 \ge 2\sqrt{a^3b^3}$
<=> $a^3+b^3 \ge 2ab\sqrt{ab}$
<=> $a^3+b^3 \ge 2$ (hoặc dùng hằng đẳng thức $(a+b)^3$ cũng ra)
Ta có: $a^5+b^5 = (a^3+b^3)(a^2+b^2)-(a+b)$ = 2.2-2 = 2(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi
{$\begin{matrix} a = b \\ a^2 = b^2 \\ a^3 = b^3 \end{matrix}$

câu f) tương tự dùng bdt cô-si,mình chỉ hướng dẫn thôi nha:
ta có:
*ab=1
*$a^3+b^3 \ge 2$ (1)
*$a^4+b^4 \ge 2\sqrt{a^4b^4}$
<=>$a^4+b^4 \ge 2a^2b^2$
<=>$a^4+b^4 \ge 2 \ (2)$ (vì ab=1 => $a^2b^2 = 1$)
Từ (1),(2) => $a^3+b^3 \ge a^4+b^4$ (đpcm)
nhớ thank nha nghĩ lâu lắm mới ra.

 

[il0veyou123]

Các anh cho em hỏi 1 tí hằng đẳng thức $(a+b)^4$ và $a^4+b^4$ là như thế nào?

 

[janbel]

Các anh cho em hỏi 1 tí hằng đẳng thức $(a+b)^4$ và $a^4+b^4$ là như thế nào?

Đơn giản là $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \\ a^4+b^4=(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)$

 

[janbel]

Bài d) không cần phải thế.
Theo Cauchy-Schwarz thì:
$$a^5+b^5 \ge \dfrac{(a^3+b^3)^2}{a+b}\ge \dfrac{[\dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b}]^2}{a+b}=\dfrac{(a^2+b^2)^4}{(a+b)^3} \ge \dfrac{(a+b)^8}{16(a+b)^3}=2$$
$$\to Q.E.D$$
Dấu "=" $\iff a=b=1$

 

[vipboycodon]

Bạn ơi mình mới học lớp 9, mình chưa biết cái bđt cauchy-schwarz đó đâu, tiện thể bạn nói cho mình luôn về bđt bunhiacopxki nha.

 

[congchuaanhsang]

Bạn ơi mình mới học lớp 9, mình chưa biết cái bđt cauchy-schwarz đó đâu, tiện thể bạn nói cho mình luôn về bđt bunhiacopxki
nha.

Cauchy - Schwarz và Bunyakovsky là một. Hơn nữa bạn học lớp 9 thì cũng phải biết chứ!

Từ hè 7 mình đã học rồi

Đơn giản là $(ax+by)^2$\leq$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$

Dạng phân thức: $\dfrac{a^2}{x}$+$\dfrac{b^2}{y}$\geq$\dfrac{(a+b)^2}{x+y}$

Cauchy - Schwarz cũng có dạng tổng quát, bạn tự tìm hiểu nhé!

 

[vipboycodon]

Chắc bạn giỏi lắm nhỉ mình thì không được giỏi lắm, năm nay tính đi thi toán xem có đậu hay không.

 

[braga]

sau một hồi suy nghĩ cũng ra cách làm nhưng k0 biết đúng hay sai.
theo bdt cô-si ta có:
$\frac{a+b}{2} \ge\sqrt{ab}$ <=> $1 \ge \sqrt{ab}$
<=>$ ab \le 1$
$a^2+b^2 \ge 2\sqrt{a^2b^2}$
<=> $a^2+b^2 \ge 2ab$
nhân vế với vế ta có:
$ab(a^2+b^2) \le 2ab$
<=> $ab(a^2+b^2) \le 2$(vì ab=1).
Dấu "=" xảy ra khi
{$\begin{matrix} a=b \\ a^2=b^2 \end{matrix}$

Bài này ngược dấu nhé!!
Với bài này, chỉ đơn giản là cân bằng hệ số. Theo $AM-GM(Cauchy)$ ta có:
$$xy(x^2+y^2)=\dfrac{1}{2}(2xy)(x^2+y^2)\le \dfrac{1}{2}.\dfrac{(x^2+y^2+2xy)^2}{4}=\dfrac{(x+y)^4}{8}=2$$

 

[tranducphuchuy]

ai cho tớ hỏi bđt này chứng minh thế nào :2(a^2+b^2)>=(a+b)^2
xin cảm ơn rất nhiều!

 

[transformers123]

ai cho tớ hỏi bđt này chứng minh thế nào :$2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2$
xin cảm ơn rất nhiều!

bđt trên tương đương với:
$2a^2+2b^2 \ge a^2+2ab+b^2$
$\Longleftrightarrow a^2+b^2 \ge 2ab$ (hiển nhiên đúng)

 

[buivanbao123]

Từ $(a-b)^{2}$ \geq 0
\Leftrightarrow $a^{2}+b^{2}$ \geq 2ab
cộng 2 vế cho $a^{2}+b^{2}$ sẽ được đẳng thức cần chứng minh

 

[huynhbachkhoa23]

ai cho tớ hỏi bđt này chứng minh thế nào :2(a^2+b^2)>=(a+b)^2
xin cảm ơn rất nhiều!

Bài này Cauchy-Schwarz cho $(1;1)$ và $(a;b)$ là ra thôi.

 

[huynhbachkhoa23]

ai cho tớ hỏi bđt này chứng minh thế nào :2(a^2+b^2)>=(a+b)^2
xin cảm ơn rất nhiều!

Còn cách khác là sử dụng Trebusep

Giả sử $a\ge b$.

Theo Trebusep: $2(a.a+b.b) \ge (a+b)(a+b)$

Hết =))

 

[huynhbachkhoa23]

ai cho tớ hỏi bđt này chứng minh thế nào :2(a^2+b^2)>=(a+b)^2
xin cảm ơn rất nhiều!

Dùng lượng giác.

Chuẩn hoá $a^2+b^2=1$

Đặt $a=\cos t; b=\sin t $

BDT cần chứng minh: $2\sin t. \cos t \le 1$

$\leftrightarrow \sin 2t \le 1$ luôn đúng

 

[transformers123]

thích thì thêm cách nữa=)):
áp dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta có:
$a^2+b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2} \iff 2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2$

 

[congchuaanhsang]

[TEX]a) a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq 1 (a + b + c + d = 2)[/TEX]

Cauchy-Schwarz: $a^2+b^2+c^2+d^2 \ge \dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}=1$